Yanyan a écrit:

C'est pas très dur.

L'énoncé ne me fait pas peur, je ne suis juste pas du tout d'accord avec cette phrase, c'est différent ^^

Factoriser [latex]x^p+y^p[/latex] en p termes (?) dans [latex]Q[\alpha][/latex] (quid de [latex]x[/latex]et de [latex]y[/latex] ?).

On supposera [latex]x\neq 0[/latex] et [latex]y\neq 0[/latex] (auxquels cas le problème est résolu).
Pour tout rationnel [latex]y[/latex] non nul, on considère la fonction  [latex]f_y[/latex] définie sur [latex]Q^*[/latex] par :
[TeX]f_y(x)=x^p+y^p[/latex].
Alors, pour tout entier [latex]k[/latex] compris entre 0 et [latex]p-1[/latex], [latex]f_y(-\alpha^ky)=(-\alpha^ky)^p+y^p=((-1)^p\alpha^{pk}+1)y^p[/latex].
Or [latex](-1)^p=-1[/latex] car [latex]p[/latex] est impair et [latex]\alpha^{pk}=(\alpha^p)^k=1^k=1[/TeX]
Donc, pour tout entier [latex]k[/latex] compris entre 0 et [latex]p-1[/latex], [latex]f_y(-\alpha^ky)=0[/latex]
On en déduit que le polynôme unitaire[latex]f_y(X)[/latex] de degré [latex]p[/latex] se factorise en [latex](X+y)(X+\alpha y)...(X+\alpha^{p-1}y)[/latex].
Donc, pour tous rationnels non nuls [latex]x[/latex] et [latex]y[/latex] :
[latex]x^p+y^p=(x+y)(x+\alpha y)...(x+\alpha^{p-1}y)[/latex].
Remarques : En échangeant [latex]x[/latex] et [latex]y[/latex], on a également [latex]x^p+y^p=(x+y)(\alpha x+y)...(\alpha^{p-1}x+y)[/latex].

Ce qui répond à la question...telle que je l'ai comprise !

Superbe Je vais tenter de me souvenir de cette factorisation très élégante !