Enigme Probablement du genre humain ? @ Prise2Tete

SaintPierre · #1

Dans ce problème, on suppose qu'il y a équiprobabilité: un enfant a autant de chance d'être un garçon qu'une fille, et une chance sur 7 de naître un jour de la semaine donné. Il n'y a pas de jumeaux.

Une personne se présente chez une mère de famille. "Nous effectuons un sondage auprès des personnes qui ont exactement deux enfants. Je voudrais connaître le jour de la semaine où est né l'un de vos garçons, n'importe lequel. Si vous n'avez pas de garçon, je cocherai la case "sans objet"."
La maman répond "dimanche". Quelle est la probabilité qu'elle ait deux fils ?

godisdead · #2

Je vais me planter, mais je dirais à vue de nez, 50%.
Sur ces 2 enfants, on sait qu'elle a un garçon. Donc, il nous reste à déterminer le sexe du 2ième ...

2ième chance :
il y a 27 cas de figures où l'un des deux enfants est un graçon né le dimanche.
il y a 13 cas où les deux enfants sont des garçons, donc je dirais 13/27 soit environ 48%

gwen27 · #3

En toute logique : 1/2

EDIT
1/2 ce serait si l'enquète était menée auprès des familles ayant au moins un garçon

Là : sur 4 cas équiprobables GG GF FG FF le dernier est exclu

Il y a donc 1 chances sur 3 pour qu'elle ait 2 garcons.

SaintPierre · #4

C'est la bonne probabilité, Gwen.

fix33 · #5

1/3 !

SaintPierre · #6

Oui, fix.

Bamby2 · #7

humm, tout ce que l'on sait c'est qu'elle a au moins un fils.
la proba d'en avoir deux est alors de 50%.

mais c'est trop simple, j'ai du rater un truc

nodgim · #8

1/3 ?

SaintPierre · #9

Oui, nodgim. La démonstration est un peu moins aisée que la réponse.

nodgim · #10

Non, il y a 4 possiblités FF GG GF et FG, en éliminant FF, ne reste que 3 possiblités, dont 1 seule pour GG.

Franky1103 · #11

Bonjour,
Par sa réponse, on sait que la mère a au moins un fils (peu importe qu'il soit né un dimanche). Normalement, on aurait une probabilité de 1/4 pour chacun des cas suivants: 2 fils, 1 fille puis 1 fils, 1 fils puis 1 fille et 2 filles. Ici, on sait qu'il n'y a pas 2 filles: il ne reste donc que 3 cas. La probabilité recherchée est donc 1/3. J'avoue que la première fois où j'ai rencontré ce type de problème, j'étais assez interloqué.
Bonne soirée.
Frank

Promath- · #12

1 chance sur 2 ?

SaintPierre · #13

Non, Promath.

Promath- · #14

Ok, je dis alors 1/4!

Klimrod · #15

Bonjour,

Ta question me rappelle un pseudo-paradoxe analogue et déjà posé ici.
Il y a deux bonnes façons de raisonner et une mauvaise.

La mauvaise :
On sait qu'il y a deux enfants dont au moins un garçon. L'autre enfant peut être soit un garçon, soit une fille (évènements équiprobables), donc la probabilité que l'autre enfant soit également un garçon est 1/2.
Ce raisonnement serait vrai si les deux enfants étaient indiscernables, ce qui n'est pas le cas.

1ère bonne façon de raisonner :
Au départ, il y a quatre cas possibles et équiprobables : GG-GF-FG-FF, mais l'on peut d'emblée éliminer le cas FF. Il reste donc 3 cas possibles et équiprobables.
Il n'y a qu'un seul cas favorable (GG).
Donc probabilité d'avoir deux garçons sachant qu'il y en a au moins un = 1/3

2ème bonne façon de raisonner :
Appelons A l'évènement "avoir au moins un garçon" et B l'évènement "avoir exactement deux garçons".
On cherche la probabilité de B sachant A, notée P( B | A )
P( B| A) = P( A∩B ) / P(A) = (1/4) / (3/4) = 1/3

Merci de cette immersion dans des souvenirs mathématiques,
Klim.

rivas · #16

Puisqu'on sait que la mère répond c'est qu'elle a exactement 2 enfants.
Sans aucune connaissance particulière les combinaisons (G,G), (G,F), (F,G) et (F,F) sont équiprobables de probabilité 1/4.
Le dimanche ne joue aucun rôle particulier, ce qui est important c'est que la mère réponde.

Puisqu'on sait que la mère répond c'est aussi qu'elle a au moins 1 fils ce qui élimine la configuration (F,F), les 3 autres restants équiprobables.
La probabilité qu'elle ait 2 garçons est donc 1/3.

Autre façon de voir:
Notons A l'événement: Avoir exactement 2 garçons. Dans le contexte d'avoir exactement 2 enfants, P(A)=1/4
Notons B l'événement: Avoir au moins 1 garçon. P(B)=3/4.

P(A et B)=P(A) (car B est inclus dans A).
Or P(A et B)=P(A/B)P(B) ce qui donne P(A/B)=(1/4)/(3/4)=1/3.

Merci pour cette énigme.
Edit: P(A/B): P(A) sachant B.

SaintPierre · #17

Klimrod et rivas: parfait !

On peut aussi inclure le dimanche dans les calculs et on retombe sur la bonne probabilité.

Promath: non, ce n'est pas 1/4 !

fabb54 · #18

Je vais essayer d'être clair, sans utiliser une seule formule mathématique, j'espère que cela convient !

La question à laquelle on nous demande de répondre est équivalente à : p

"Quelle est la probabilité qu'une femme ayant deux enfants dont on sait qu'au moins l'un d'entre eux est un garçon, ait deux garçons " ?

En prenant note de la condition d'équiprobabilité sur les sexes, on connaît les probabilités des couples suivants :

P(GxG)= 1/4
P(FxF) = 1/4
P(GxF) = 1/2

On remarque que, parmi les femmes ayant au moins un garçon, il est deux fois moins probable qu'elles aient un second garçon plutôt qu'une fille.

On en déduit ainsi que la probabilité qu'elle ait deux fils sachant qu'elle a au moins un fils est de 1/3. Le fait que l'enfant soit né un dimanche nous permet simplement de savoir que l'enfant est né en 1995.

rivas · #19

Si on était à l'école, le professeur dirait que Klimrod et moi avons copié l'un sur l'autre pour les bonnes réponses

Klimrod · #20

Arrrghhh !
Tu m'as démasqué !

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#1 - 08-08-2011 16:58:37

Probableent du genre humain ?

#0 Pub

#2 - 08-08-2011 18:18:59

pribablement du genre humain ?

#3 - 08-08-2011 19:33:47

orobablement du genre humain ?

#4 - 08-08-2011 21:16:00

Probablement d genre humain ?

#5 - 08-08-2011 21:42:36

Pobablement du genre humain ?

#6 - 08-08-2011 21:46:33

probablement du genrr humain ?

#7 - 08-08-2011 22:21:41

Prbablement du genre humain ?

#8 - 08-08-2011 22:30:48

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#9 - 08-08-2011 22:39:06

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#10 - 08-08-2011 23:00:56

Probablement du genre huain ?

#11 - 08-08-2011 23:09:13

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#12 - 09-08-2011 08:14:44

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#13 - 09-08-2011 08:54:51

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#14 - 09-08-2011 09:40:20

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#15 - 09-08-2011 10:19:21

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#16 - 09-08-2011 11:46:13

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#17 - 09-08-2011 11:52:57

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#18 - 09-08-2011 15:25:53

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#19 - 09-08-2011 16:04:51

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#20 - 09-08-2011 17:01:09

Probablmeent du genre humain ?

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