oui, je pense . par exemple, s'il contient un 1  xx1xxx il suffit de le multiplier par

1000002000003000040000050000060000070000080000090000000000

Bon, le coup du 1 ça ne marche pas car il y a les retenues... Mais il parait difficile de concevoir un nombre dont aucun multiple ne contiendrait un chiffre donné au moins une fois.

Pour un nombre commençant par 1,2,3,....9 , il est toujours possible de le multiplier pour obtenir un nombre commençant   par un chiffre voulu. (sauf 0) Dès lors, on reprend l'idée précédente. Et s'il manque un chiffre dans le premier produit, on rajoute suffisamment de 0 et on met un autre facteur au bout , etc... S'il manque toujours le 0 , on met assez de 0 à la fin.

Intéressante énigme.

Soit N un entier de c chiffres.
Soit X=1234567890...0 terminé par c+1 chiffres 0.
Divisons X par N, prenons la partie entière de ce nombre PLUS 1 si le quotient n'est pas entier.
Ce nombre multiplié par N commence commence exactement par 1234567890.
En effet prendre la partie entière éventuellement plus 1 assure que le produit est plus grand que X et prendre c+1 chiffres 0 à la fin assure qu'il y a pas de retenue sur le premier de ces 0.

Exemple: N=123
X=1234567890000
X/N=10 037 137 317,073170731707317073171
10 037 137 318*123=1 234 567 890 114

CQFD
Merci pour cette énigme.

PS: J'ai d'abord pensé à utiliser les nombres cycliques (ou nombres phoenix).
Leur définition est que leurs multiples correspondent aux permutations circulaires de leurs chiffres. Plus d'informations ici:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_cyclique

En choisissant un nombre cyclique de plus de c chiffres, N fois ce nombre s'écrit avec les mêmes chiffres que le nombre cyclique.
Il suffit donc lors du choix du nombre cyclique d'en choisir un qui s'écrit avec au moins une fois chaque chiffre.

Il reste à démontrer que c'est toujours possible, c'est à dire qu'il y a toujours un nombre cyclique assez grand s'écrivant avec au moins les 10 chiffres.

Et puis je me suis dit que ce n'était pas satisfaisant et j'ai donc trouvé l'autre démonstration.

Je planche pendant plusieurs heures sur une enigme et tout le monde la trouve facile  !

Question subsidiaire :  Peut on trouver, pour tout entier naturel non nul, un multiple ne s'écrivant qu'avec les chiffres 0 et 1 ?

J'étais parti sur un truc plus compliqué. Et puis je me suis dit qu'il devait y avoir plus simple

A noter que ma méthode permet de trouver un multiple commençant par ce qu'on veut donc en particulier par des 0 et des 1 ce qui répond à la question subsidiaire...

Ceci dit, en base 2, tous les multiples ne s'écrivent qu'avec des 0 et des 1.

Je commence par la question subsidiaire, ça sera plus facile

Soit U la suite définie par U0 = 1 et Un+1 = 10*Un + 1
Autrement dit, U0=1, U1 = 11, U2 = 111, U3 = 1111, etc...

Soit un nombre n.
Pour i compris entre 0 et n, je calcule les n+1 valeurs de Ui % n: comme j'ai n+1 valeurs alors qu'il n'y en a que n différentes modulo n; alors (principe des tiroirs) il existe a et b tels que a > b et Ua et Ub sont congrus modulo n.
Du coup, Ua - Ub est un multiple de n; et par construction, il ne comporte que des 1 et des 0.


Revenons à la question principale.
Soit un nombre n, soit M un multiple de n qui ne s'écrit qu'avec des 1 et des 0.
M*2 ne s'écrit qu'avec des 2 et des 0
M*3 ne s'écrit qu'avec des 3 et des 0
etc...
La concaténation (M).(2*M).(3*M).(4*M).(5*M).(6*M).(7*M).(8*M).(9*M).0 est un multiple de n et contient par construction tous les chiffres de 0 à 9

Pour la question subsidiaire je dis oui, c'est possible.

Preuve : Posons n un entier quelconque.

1) n est une puissance de 10 : C'est fini
2) Sinon, intéressons nous au groupe des puissances de 10 modulo n.
Notons [latex]a_1, a_2, ... , a_n [/latex] les éléments ce groupe.
On cherche des entiers positifs [latex]b_1, b_2, ... , b_n [/latex] tels que :
[latex]\sum {}^{} a_ib_i = 0 \quad modulo \quad n[/latex]    (par exemple on choisis a1b1 + a2b2 = 0 modulo n et on fixe les autres à 0)

Il ne reste plus qu'à placer [latex]b_i[/latex] "1" à l'emplacement des puissance de 10 congrues à [latex]a_i[/latex] modulo n

Exemple : n = 7
1 = 1 [7]
10 = 3 [7]
100 = 2 [7]
1000 = -1 [7]
10000 = -3 [7]
100000 = -2 [7]

par exemple : 10*1 + 10000*1 = 0 [7] donc 10010 est un multiple de 7

L'exemple est peut être un peu facile mais l'idée est là