Enigme Somme @ Prise2Tete

salehseghiri · #1

calculer la somme :
[TeX]s=\frac{1}{1}+\frac{1*2}{1*3}+\frac{1*2*3}{1*3*5}+\frac{1*2*3*4}{1*3*5*7}+...[/TeX]

shadock · #2

[TeX]{\pi}[/TeX]

dhrm77 · #3

de memoire, ne serais-pas une des facons de calculer 'e'?

Nicouj · #4

je réécris en [latex]\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{C_{2n}^n}[/latex]

Ce qui ne m'aide pas TT

Yanyan · #5

Le terme général est [latex]a_n=\frac{2^nn!^2}{(2n)!}[/latex] si on pose [latex]W_n=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos^{n}(x)dx[/latex] alors ces intégrales bien connues (Wallis) sont égales à [latex]\frac{2^nn!^2}{(2n+1)!}[/latex] donc [latex]a_n=(2n+1)W_{2n+1}[/latex].
[TeX]\sum_{n\geq 1}a_n=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sum_{n\geq 1}(2n+1)cos^{2n+1}(x)dx[/TeX]
On calcule [latex]\sum_{n\geq 1}(2n+1)x^{2n+1}[/latex]....

Je finirais si j'en ai le courage.

fabb54 · #6

Soit [latex]u_k[/latex] le k-ième terme de la série.
[TeX]u_k[/latex] peut être formalisé de la manière suivante :

[latex]u_k= \frac{2^{k-1} k! (k-1)!}{(2k-1)!}[/TeX]
exemple : k=6
[TeX]u_6= \frac{2^5 6! 5!}{(11)!}[/TeX][TeX]u_6= 1\times2\times3\times4\times5\times6 \times\frac{2^5\times1\times2\times3\times4\times5}{1\times2\times3\times4\times5\times6\times7\times8\times9\times10\times11}[/TeX]
donc,
[TeX]u_6= \frac{1\times2\times3\times4\times5\times6}{1\times3\times5\times7\times9\times11}\times\frac{2^5\times1\times2\times3\times4\times5}{2\times4\times6\times8\times10}[/TeX]
donc,
[TeX]u_6= \frac{1\times2\times3\times4\times5\times6}{1\times3\times5\times7\times9\times11}[/TeX]
Revenons à notre série :
[TeX]S_n=\sum_{k=1}^n u_k[/TeX][TeX]S_n=\sum_{k=1}^n \frac{2^{k-1} k! (k-1)!}{(2k-1)!}=\sum_{k=1}^n \frac{2^{k} k!^2}{(2k)!}=1+\sum_{k=0}^n\frac{2^{k} k!^2}{(2k+1)!}[/TeX]
donc,
[TeX]S=1+\sum_{k=0}^\infty\frac{2^{k} k!^2}{(2k+1)!}=1+\frac\pi2[/TeX]

rivas · #7

[latex]2+\dfrac{\pi}2[/latex] ?

Franky1103 · #8

Bonjour,
S(n) = Somme [n! / [(2n)! / (n! 2^n)]] = Somme [(n!)² 2^n / (2n)!]
(désolé, je ne sais toujours pas écrire des formules lisibles ici !!!)
Par ailleurs, arccos(0) = pi/2 et arccos(1)=0
Donc S(n) = pi/2 + 1
Bonne soirée.
Frank

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#1 - 29-08-2011 03:04:15

Somem

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Smme

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Somm

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