Bonjour,
Quid d'un gâteau "unitaire" monocolore N=1 ?
Bonne soirée.
Frank

J'ai l'impression que le plus petit N = 1
Pour cela, il suffit de le découper la longeur ou largeur par le nombre de part que l'on veut.

Chalut à tous,

C'est du gâteau Déjà, en partant du gâteau initial carré ,et si on découpe rien, la note obtenue sera de 1,000
Je pense qu'on ne fera pas mieux. Après tout, un carré est un rectangle particulier.

Mais s'il faut vraiment découper, alors il faudrait découper son gâteau carré en une infinité de parts rectangulaires :
- N parts de largeur 1, et de hauteur N-1
- et une dernière part de largeur N, et de hauteur 1


Note = N*(1/N-1) + 1*(1/N)
Cette note tend vers 1 lorsque N tend vers l'infini

N        NOTE
1        1
2        2,5000
3        1,8333
10       1,2111
100     1,0201
10000  1,0002

Pour "réussir", ton pâtissier aura sûrement intérêt à congeler avant d'entamer les découpes à la scie à ruban. Et bon courage pour la déco. Quel gâchis, mdr !

En découpant son gâteau carré en k parts de la même forme (donc en y traçant k-1 séparations parallèles et équidistantes, en gros), ton pâtissier obtiendra immanquablement N=1. Ca marche aussi pour k=1, d'ailleurs, s'il n'a pas envie de s'emm**der.

Pas de preuve, juste une intuition. Je n'ai aucune idée d'ersatz de début de preuve.

Ce sont tous les gateaux qui sont uniquement découpés dans le sens de la longeur (ou largeur), le nombre de part importe peu ainsi que leur taille !

D'accord avec les réponses et N=1.
Il est évident qu'on aura tjs un rapport plus petit si un rectangle donné ne s'étire pas d'un coté à l'autre.

J'avais pensé et même réfléchit à ça mais je ne pensais pas que 1 était le minimum.

Je reviendrais poser mes calculs si j'aboutis à quelque chose mais en considérant un carré de côté 1 quelque soit ça taille et en disant que chaque rectangle est de taille 1*1/n avec n qui tend vers l'infini 1*1/n tend vers 0 mais le carré étant de côté 1 la limite de la somme de tous ces 0 tend vers 1.
Et j'essaye de trouver un raisonnement avec la dérivée mais pour l'instant rien en vue.


Avec la dérivée j'arrive à un truc du genre :
[TeX]n*\frac{1}{n} \sum 1*\frac{1}{n} = \sum \frac{1}{n} = 1[/TeX]
Et donc [latex](n*\frac{1}{n} \sum 1*\frac{1}{n})'=1'=0[/latex]

La dérivée s'annule en cette seul valeur qui est donc un minimum. Mais je pense pas que ce soit la bonne démonstration.


Shadock

C'est gentil moicetmoi

Il y a quand même une démo en une ligne , imparable et compréhensible par un élève de collège . Encore faut-il y penser

indice : inégalités+aires .

Bon courage et bonne chance à ceux qui cherchent encore

Vasimolo

Bravo masab

J'avais la même chose en prenant comme unité le côté du gâteau ce qui simplifie beaucoup la démonstration .

Vasimolo

Une démo géniale par sa simplicité ! Merci pour ce problème dont je déplore ne pas avoir trouvé la limpide solution.

On peut étendre cette énigme à un gâteau rectangulaire [latex]R[/latex] de largeur a et de longueur b. Il est divisé en rectangles [latex]R_i,\ i=1,...,n[/latex] de largeur [latex]a_i[/latex] et de longueur [latex]b_i[/latex]. Le pâtissier lui attribue la note [latex]\sum_{i=1}^n\frac{a_i}{b_i}[/latex]. Montrons que la note minimum est [latex]\frac{a}{b}[/latex].
On a [latex]b_i\leq b[/latex] d'où [latex]\frac{a_ib_i}{b^2}\leq\frac{a_i}{b_i}[/latex].
Comme la somme des aires des rectangles [latex]R_i,\ i=1,...,n[/latex] est égale à l'aire du rectangle [latex]R[/latex], on a [latex]\sum_{i=1}^na_ib_i=ab[/latex].
En ajoutant les n inégalités précédentes, on obtient [latex]\frac{a}{b}\leq \sum_{i=1}^n\frac{a_i}{b_i}[/latex] .

Un gâteau d'une seule couleur a la note [latex]\frac{a}{b}[/latex]. Donc cette note est bien le minimum des notes.

De plus un gâteau a cette note ssi toutes les inégalités précédentes sont des égalités, c-à-d ssi [latex]b_i= b[/latex] pour tout i. Donc ssi le gâteau est formé de rectangles de longueur b.