Provisoirement (je me réserve le droit d'améliorer mon score ) je trouve :

1- 7

2 - 2087 et 279

Exo 1:

http://www.prise2tete.fr/upload/gilles355-EXO01.jpg

Dans le lien ci-dessus on trouve une soution avec la case rouge = 7.

Démontrons pourquoi il est impossible que la rouge = 9 :
Voici la liste des additions à 3 chiffres différents donnant 20 :
5+6+9
4+7+9
3+8+9
7+5+8

On serait donc obligé de prendre 7+5+8=20 car le 9 est pris par la case rouge.
Mais dans ce cas, même en mettant en toute logique 6 en bas à droite on aurait la situation du lien ci dessous.
http://www.prise2tete.fr/upload/gilles355-EXO011.jpg

Les chiffres restant étant 1,2,3 et 4 nous devons faire 8 et 8 soit 16 or 1+2+3+4=10.

Démontrons qu'il est impossible que la rouge = 8 :
En reprenant la liste des 3 chiffres faisant la somme de 20, on aurait 2 possibilités 5+6+9 et 4+7+9 car le 8 est pris par la case rouge.
Que l'on prenne l'une ou l'autre des situations on se retrouve encore avec des sommes impossibles à réaliser avec les chiffre 1,2,3 et 4 en mettant le plus gros chiffre restant en bas à droite bien entendu (7 dans le premier cas et 6 dans le second).

La solution est donc 7 puisque nous avons vu une solution possible (1er lien) avec ce chiffre en case rouge.

Exo 2:
J'ai bien entendu pris l'hypothèse que A,B,C et D était des chiffres et non des nombres différents de 0

ABCD-DCBA= 1000A+100B+10C+D-1000D-100C-10B-A
                  = 1000(A-D)+100(B-C)+10(C-B)+(D-A)
                  = 999(A-D)+90(B-C)

a)Pour le résultat maximum il faut que A-D soit le plus grand possible car il est multiplié par 999 et que B-C soit donc le second plus grand possible car 90 est moins important que 999.

On prend donc A=9, D=1, B=8 et C=2 ce qui nous donne 9821-1289 = 8532

b)

ABCD-DCBA = 999(A-D)+90(B-C)
                   = 999(A-D)-90(C-B)

Nous avons vu que le plus grand écart possible est 9-1=8, or 90*8=720 qui est plus petit que 999.
A-D ne peut donc pas être négatif, nous prendrons donc A-D=1 (écart le plus petit possible en restant entier positif).
Par contre il faut que l'écart entre C et B soit lui le plus grand possible.

On prend donc C=9, B=1 puis pour A et D nous avons plusieurs solutions étant respectivement (A=3 et D=2),(A=4 et D=3), (A=5 et D=4), (A=6 et D=5), (A=7 et D=6) et (A=8 et D=7)

ce qui donne : 999-720= 279 que l'on trouve en faisant les opérations telles que :

3192-2913 = 279
4193-3914 = 279
5194-4915 = 279
6195-5916 = 279
7196-6917 = 279
8197-7918 = 279

Voilà et encore merci pour ces petites énigmes bien sympathiques.

1 - De gauche à droite, du haut vers le bas (sens de lecture), les valeurs sont A, B, C, D, E, F, G, H, I. On cherche à maximiser B sachant que :
A+C+D+H+I = 27
E+F+G+H+I = 28
G+H+D = 20
A+B+C+D+E+F+G+H+I = somme(1-9) = 45

A+B+C+D+E+F+G+H+I = (A+C+D+H+I) + (E+F+G+H+I) + B - H - I
Donc 45 = 27 + 28 + B - H - I <=> B = H + I - 10
B est maximal pour (H+I) maximal, càd H+I = 9+8 = 17 et B = 7.
On vérifie qu'il existe un solution :
Si H = 8, G+D = 12 donc G=D=6 (car 7, 8 et 9 déjà utilisés) => impossible.
Donc H = 9, I = 8, B = 7.
G+D = 11 = 6+5 (seule possibilité).
À partir de là, plusieurs solutions :
A = 1, C = 4, D = 5, E = 2, F = 3, G = 6 ;
A = 2, C = 3, D = 5, E = 1, F = 4, G = 6 ;
A = 1, C = 3, D = 6, E = 2, F = 4, G = 5 ;
On peut de plus permuter A avec C et E avec F à chaque fois, donc 6 solutions au total pour maximiser B à 7.


2 - Pour le maximum, il faut commencer par maximiser le chiffre des milliers, donc 9-1, puis maximiser le chiffre des centaines, donc 8-2.
MAX : 9821 - 1289 = 8532

Pour le minimum, il faut commencer par minimiser le chiffre des milliers. Le résultat doit être positif, donc on aura forcément une différence de 1 au minimum sur le chiffre des milliers.
Ensuite, on minimise le chiffre des centaines. Comme on sait qu'on a déjà au moins un millier dans la vue, on peut faire du négatif avec les centaines, donc 1-9.
On a donc, avec x = y+1 :
MIN : x19y - y91x = 279

1- 7

2- Minimum: 279
Maximum: 8532

Question 1

Montrons que le chiffre de la case en rouge peut atteindre mais ne peut pas dépasser 7.

a/ En appelant a,b,c,d,e,f,g,h,i les chiffres des cases en partant du haut, et de gauche à droite, on a les relations :
(1)a+c+d+h+i=27
(2)g+d+h=20
(3)e+f+g+h+i=28
Et aussi
(4)a+b+c+d+e+f+g+h+i=45 (somme des chiffres de 1 à 9)

En faisant (4)-(1), on obtient :
(5)b+e+f+g=18
Puis (3)-(5) :
(6)h+i-b=10

On a donc b=h+i-10
Comme h+i ne peut pas dépasser 17, b ne peut pas dépasser 7.

b/ Voici une configuration où b=7 :

    3
  7 1 6
2 4 5 9 8

Question 2

La différence des 2 nombres vaut :

1000A+100B+10C+D - 1000D+100C+10B+A = 999(A-D) + 90(B-C)

a/Pour le maximum
Il faut maximiser A-D et B-C. La valeur maximale est 8 (9-1), mais ne peut pas être utilisée pour les 2. On a intérêt à privilégier A-D, car 8*90 < 999.
On prend donc A-D=8, avec A=9 et D=1
B-C peut ensuite valoir au maximum 6, avec B=8 et C=2
Ce qui donne 9821-1289=8532
Le résultat maximum est donc 8532

b/Pour le minimum
A-D ne peut être nul, car les chiffres sont différents.
A-D ne peut pas être négatif, car alors la différence serait négative, l'énoncé l'interdit
Il nous reste A-D=1
Ensuite, on peut prendre B-C=-8, le résultat restera positif. Avec donc B=1 et C=9.
On peut prendre ce qu'on veut pour A et D tant que A-D=1
Ce qui donne par exemple 3192-2913=279
Le résultat minimum est donc 279

Griego 3
Le chiffre maximum pouvant se trouver dans la case rouge est 7 .

Montrons que l'on ne peut pas avoir 9 dans le triangle rouge.
En effet dans ce cas la somme des nombres des autres triangles serait [latex]\ge 28+27-8-7 =40[/latex] .
Donc [latex]1+\cdots+9 \ge 9+40[/latex], c-à-d [latex]45\ge 49[/latex], contradiction.

Montrons que l'on ne peut pas avoir 8 dans le triangle rouge.
En effet dans ce cas la somme des nombres des autres triangles serait [latex]\ge 28+27-9-7 =39[/latex] .
Donc [latex]1+\cdots+9 \ge 8+39[/latex], c-à-d [latex]45\ge 47[/latex], contradiction.

On peut avoir 7 dans le triangle rouge comme le montre la solution
        2
    7  3  5
1  4  6  9  8


Griego 4
Je suppose que A,B,C,D sont des chiffres différents.
résultat minimum 279
résultat maximum 8532

3192 - 2913 = 279
9821 - 1289 = 8532

Je vois que ce concours  a du succès.

Bravo à tous!

Voici les réponses:

1-7

2-279;8532