Gros malin

Spoiler : [Afficher le message] Je me disais bien que je connaissais sa belle soeur.
Cette suite génère les triplets successifs de la suite de Fibonacci (Fibo pour les intimes)


Spoiler : [Afficher le message] Soient [latex]a_{i}[/latex] les membres de la suite de Fibonacci.
[TeX]U_{n}=a_{n} a_{n+1} a_{n+2}[/TeX]
C'est impropre, car il manque les puissances de 10 de [latex]a_{n}[/latex]
et [latex]a_{n+1}[/latex]. Mais cela permet de se figurer le résultat.

Pour passer à [latex]U_{n+1}[/latex], on doit aboutir à [latex]a_{n+1} a_{n+2} (a_{n+1}+a_{n+2})[/latex]
En ayant encore neutralisé la question des puissances de 10.

Quelques questions relatives à [latex]a_{n+1}[/latex] et [latex]a_{n+2}[/latex] se posent: ont-ils le même nombre de chiffres et combien de chiffres a leur somme.

Les cas de figures sont p,p,p; p,p,p+1; p,p+1,p+1. 

p,p+1,p+2 peut être éliminé car le premier chiffre du nombre à p+1 chiffres est nécessairement 1 si à l'étape précédente on était de la forme q,q,q.
[TeX]U_{n}[/latex] est donc une puissance de 10 exposant 3p, (3p+1) ou (3p+2).

Et là scarta dégaine son log en base 10 modulo 3.


Cas n°1

[latex]1+E(E(\frac{log_{10}(U_{n})}{3})= p [/TeX]
[TeX]E(\frac{E(log_{10}(U_{n})+2}{3}) = p [/TeX]
[TeX]E(E(\frac{log_{10}(U_{n})}{3})+1) = p [/TeX]
Cas n°2
[TeX]1+E(E(\frac{log_{10}(U_{n})}{3})= p+1 [/TeX]
[TeX]E(\frac{E(log_{10}(U_{n})+2}{3}) = p [/TeX]
[TeX]E(E(\frac{log_{10}(U_{n})}{3})+1) = p [/TeX]
Cas n°3
[TeX]1+E(E(\frac{log_{10}(U_{n})}{3})= p+1 [/TeX]
[TeX]E(\frac{E(log_{10}(U_{n})+2}{3}) = p+1[/TeX]
[TeX]E(E(\frac{log_{10}(U_{n})}{3})+1) = p [/TeX]
Les trois formules permettent donc d'isoler le nombre exact de chiffres de [latex]a_{n+2}, a_{n+1}, et a_{n} [/latex]

A partir de là, il n'y a plus, si j'ose dire qu'à dérouler:

Le premier membre de la somme extrait de [latex]U_n[/latex] les chiffres consécutifs [latex]a_{n+1}a_{n+2}[/latex] et les multiplie par la puissance égale à la somme des nombres de ces deux chiffres, ce qui donne le début du triplet suivant, suivi du nombre de zéros égal à la somme de ces deux nombres.

Le deuxième membre de la somme divise par une puissance de 10 égale au nombre de chiffres de [latex]a_{n+2} [/latex]  et récupère [latex]a_{n+1} [/latex] par modulo sur le nombre de chiffres de ce dernier.

Le dernier membre de la somme récupère [latex]a_{n+2} [/latex] par modulo sur le nombre de chiffres de ce dernier.

Pour [latex]U_{0}[/latex] c'est OK, ce qui permet d'amorcer la démonstration par récurrence.


Un peu impressionnant au début, mais passionnant ensuite!