Bravo à Jackv, looozer et nodgim.

Jackv, je compte une manipulation par sablier, donc cela fait 6 manipulations pour ta méthode.

nodgim, pas d'accord avec ton histoire de durée mini. Dans les règles du jeu, je n'autorise aucune période préparatoire, donc les durées mesurables ne sont pas toutes des multiples de la plus petite.

Je lance les trois.
Quand le 6 termine je le relance.
Quand le 10 termine, je couche le 6 partagé en 2+4.
Quand le 15 termine, je relance le 6 du côté 2.
J'obtiens alors 15+2=17.

temps 0 : on retourne le 15 et le 10 en même temps.
temps 10 (le 10 est écoulé) : on retourne le 6.
temps 15 (le 15 est écoulé) : on retourne le 10
temps 16 (le 6 est écoulé) : on retourne le 10 (qui n'a passé qu'une minute)
temps 17 (le 10 est écoulé) : c'est gagné !

bilan :
5 retournements
0 pause au milieu d'un écoulement
33 minutes de sable passé

ou alors

temps 0 : on retourne les 3
temps 6 (le 6 est écoulé) : on retourne le 6.
temps 10 (le 10 est écoulé) : on arrête le 6 (en le couchant, qui contient 2 en haut, 4 en bas)
temps 15 (le 15 est écoulé) : on retourne le 6
temps 17 (le 6 est écoulé) : c'est gagné

bilan :
5 retournements
1 pause au milieu d'un écoulement
35 minutes de sable passé

Proposition:

Notons S1 le sablier de 6 minutes, S2 le sablier de 10 minutes et S3 le sablier de 15 minutes.

1) A t=0, tourner S1, S2 et S3.

2) Lorsque S1 est vide, 6 minutes se sont écoulées. On retourne de nouveau S1.

3) Lorsque S2 est vide, 10 minutes se sont écoulées. On retourne de nouveau S1.

4) Lorsque S1 est vide, 14 minutes se sont écoulées. On retourne de nouveau S1.

5) Lorsque S3 est vide, 15 minutes se sont écoulées. On retourne de nouveau S1 et S2.

6) Lorsque S1 est vide, 16 minutes se sont écoulées. On retourne S2.

7) Lorsque S2 est vide, 17 minutes se sont écoulées.

On peut mesurer toutes les minutes entières à partir de 15, et aussi quelques unes en deça: 6,10,12,14.
Pour 14: 6 entier + 6 retournement à 10, reste 4, 10+4=14.
Je n'en vois pas d'autres.

Au départ on la situation suivante :
0    0    0
6   10  15

Je retourne simultanément les sabliers "6" et "15", donc après 6 minutes, on a la configuration suivante :
0    0    9
6   10   6

à ce moment là je retourne le sablier "10", donc 9 minutes plus tard, quand 15 minutes se seront écoulées, on aura la configuration suivante :
0    1    0
6    9   15

maintenant je retourne le sablier "6", ainsi une minute plus tard, quand 16 minutes se seront écoulées, on aura la configuration suivante :
5    0     0
1   10   15

et là je retourne de nouveau le sablier "6", quand la dernière minute se sera écoulée, 17 minutes seront passées.

Sinon, on peut faire les temps 6 - 10 - 12 (6 + 6) - 14 (10 + (10 - 6)) - 15 - 16 (10 + 6) et 17 comme vu ci-dessus.

On ne peut pas mesurer les temps plus petit que 6 minutes.
Quand 6 minutes se sont écoulées, les temps que l'on peut mesurer sont
(10 - 6) = 4 ou (15 - 6) = 9, on ne peut donc pas faire les temps 7, 8 et 9. (car avec 4, 9 ou 6 on ne peut pas directement mesurer 1, 2 ou 3 minutes).

On ne peut pas non plus directement mesurer 5 et 7, on ne peut donc pas faire
non plus 11 et 13 en retournant en premier le sablier "6".

Pour 11 ou 13 l'autre possibilité est (10 + 1) ou (10 + 3).
0r quand 10 minutes sont passées, les temps que l'on a peut mesurer
sont 2 (2 * 6 - 10) - 4 (10 - 6) - 5 (15 - 10) - 9 (15 - 6). Or avec ces temps on ne peut pas calculer directement 1 minutes ou 3 minutes.
On ne peut donc pas faire 11 ou 13 minutes.

À partir de 17, dans la méthode exposer plus haut, en retournant à chaque fois
un sablier "au repos" et le sablier qui a une minute d'écoulée, on peut "conserver en mémoire" le temps 1 minute, et on peut donc faire tous les temps à partir de 17.

Tu fais évoluer tes questions au fur et à mesure des réponses...
D'une manière plus générale, le problème des sabliers est lié à la fameuse identité de Bezout ax+by= 1 avec des nombres at et b premiers entre eux. 
Qu'est ce que tu veux de plus ?

Bonjour,

Une méthode pour mesurer 17 minutes:
Je retourne les 3 sabliers.
Quand le premier sablier s'est entièrement vidé, il s'est écoulé 6 minutes.
Je le retourne dans l'autre sens.
Quatre minutes plus tard, le second sablier s'est entièrement vidé.
Il s'est écoulé 10 minutes et je décide de coucher le 3ème sablier.
Deux minutes plus tard, le premier sablier s'est de nouveau vidé.
Il s'est écoulé 12 minutes et je relève le 3ème sablier pour faire s'écouler le sable restant.
Il s'écoule 5 minutes avant que le troisième sablier se vide.
Au final, on a mesuré 17 minutes en faisant 6 manipulations de sablier.

Merci titoufred

J'ai du mal à croire au non écoulement d'un sablier couché s'il est non équilibré (comme 6 = 2+4  ou  15=10+5)... Mais c'est une jolie astuce !