Bonsoir,
Si on regarde ce que donne la méthode du pâtissier avec les polygones réguliers (i.e rajouter une dernière coupe) alors on obtient comme limite :
[TeX]3,46...[/latex] pour le triangle équilatéral,
[latex]3,53...[/latex] pour le carré et
[latex]3,52...[/latex] pour le pentagone régulier.
Donc le carré donne un meilleur résultat. Mais on peut encore faire mieux en gardant le coté "doublé" du carré tel qu'il est, et en appliquant le "principe des polygones réguliers" pour rapproché les autres côté du carré du bord du cercle.
Ainsi la limite correspondra à la longueur en rouge plus la longueur de la dernière coupe dans la figure suivante :
Dans le cas du carré on a [latex]\alpha=\pi/2[/latex], mais on peut se demander si il n' y a pas une valeur de [latex]\alpha[/latex] qui maximise la somme de longueur en rouge et de la dernière découpe.
La dernière découpe a pour limite la longueur BC, on veut donc maximisé la longueur de l'arc en rouge plus deux fois BC.
Dans tous ce qui suit on supposera que le diamètre du cercle est égal à 1.
Un peu de trigonométrie (ou de wikipedia 
) nous donne :
[latex]BC= \sin{\alpha\over 2}[/latex] et
La longueur de l'arc en rouge est [latex](2\pi-\alpha)*1/2=\pi-{\alpha\over 2}[/latex] (1/2 c'est le rayon).
On veut donc maximiser la fonction [latex]\pi-{\alpha\over 2} + 2\sin{\alpha\over 2}[/TeX]
Posons [latex]\theta={\alpha\over 2}[/latex], [latex]\alpha\in[0;2\pi][/latex] et donc [latex]\theta\in[0;\pi][/latex].
Étudions donc la dérivé de la fonction [latex]f(\theta)=\pi-\theta + 2\sin\theta[/latex] sur l'intervalle [latex][0;\pi][/latex].
On a [latex]f'(\theta) = 2\cos\theta - 1[/latex], donc :
[TeX]f'(\theta)=0 \Leftrightarrow \cos\theta = {1\over 2} \Leftrightarrow \theta = {\pi\over 3}[/TeX]
-Dans l'intervalle [latex][0,{\pi\over 3}][/latex] on a [latex]{1\over 2} \le\cos\theta[/latex], et donc [latex]0 \le f'(\theta)[/latex].
-Dans l'intervalle [latex][{\pi\over 3};\pi][/latex] on a [latex]\cos\theta \le {1\over 2}[/latex], et donc [latex]f'(\theta)\le 0[/latex].
Donc pour résumé, la fonction [latex]f[/latex] est croissante sur l'intervalle [latex][0,{\pi\over 3}][/latex], atteint son maximum en [latex]\theta={\pi\over 3}[/latex] et ensuite décroit.
Donc la longueur [latex]\pi-{\alpha\over 2} + 2\sin{\alpha\over 2}[/latex] est maximale pour [latex]{\alpha\over 2}={\pi\over 3}[/latex], i.e [latex]\alpha={2\pi\over 3}[/latex]
et [latex]f({\pi \over 3}) = \pi - {\pi \over 3} + 2\sin{\pi \over 3} = {2\pi\over 3} + \sqrt 3[/latex].
Voilà, en fait quand [latex]\alpha[/latex] tend vers 0, on obtient bien le rapport [latex]\pi[/latex] que donne la méthode des polygones.
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