Oui c'est possible s'il y a au moins deux zéros.

Dans le cas contraire, c'est impossible.
En effet, la somme globale de tous les nombres écrits ne fait qu'augmenter après chaque opération. Elle augmente strictement si les deux nombres choisis sont différents et elle est constante si ces deux nombres sont égaux. Pour espérer revenir au départ il faut donc à chaque étape choisir deux nombres identiques. La première fois qu'on le fait, on fait apparaitre un zéro, que l'on ne pourra jamais faire disparaitre.

Pour cela, la somme des termes devrait être la même à la fin.
a>b
a+b +(a-b) =2a
2a>a+b la somme augmente donc à chaque manipulation sauf si a=b

Admettons que l'on ait droit à des termes identiques...

A chaque manipulation, on crée un terme nul. que l'on ne pourra retirer qu'avec un terme nul.

En gros , ça ne marche qu'avec une liste de 0

Je ne comprends pas très bien les contraintes. Faut il prendre au moins l'un des nombres résultats (somme ou différence) pour poursuivre les opérations ?
Et c'est quoi la position initiale ? C'est l'ensemble des nombres écrits au tableau ou bien c'est le couple de départ ?
Merci de m'éclairer.

Comme: a+b > a > b > a-b > 0, le fait de remplacer deux nombres par leur somme et leur différence accroit l'écart entre ces nombres. A priori, il ne semble pas possible de revenir à la position initiale, à moins de faire intervenir les autres nombres: affaire à suivre ...

Non, on ne peut pas.

Prenons deux chiffres, a et b, (a >= b)
Après l'opération, la somme totale du tableau change de
(a + b) + (a - b) - (a + b) = a - b
Donc pour que la somme totale du tableau n'augmente pas, il faut que a = b
Si a = b, la somme sera égale à 2a et la différence à 0, on ne pourra pas revenir à l'état initial !

Parmi les nombres, on en choisi 2 : a et b (avec a>=b)
On récupère donc la même liste mais avec maintenant a+b et a-b à la place de a et b.
Alors la somme des nombres a évolué, elle est passée de :
Tous (sauf a et b) + a + b, à :
Tous (sauf a et b) +(a+b)+(a-b) = Tous (sauf a et b) + 2a

Soit a>b, et alors la somme a augmenté, soit a=b et elle n'a pas changé.

Pour revenir au point de départ, il faut donc que la somme ne change pas après les différentes étapes, puisque après avoir augmenté, elle ne pourrait plus décroître. Il faut donc que a+b=2a, et donc que a = b

On ne peut donc manipuler que des nombres identiques.

En manipulant des nombres égaux, on crée à chaque fois un double et un zéro. Le seul moyen de retrouver l'état initial est donc de ne manipuler que des couples de zéros, sinon on aura des zéros en plus.

Et comme manipuler des couples de 0 ne change pas la situation de départ, c'est impossible !

Salut !
Si on simplifie, avec seulement 2 nombres, on voit facilement que pour une différence donnée il y a une infinité de couples de nombres. On pourrait montrer une récurrence.
A+

Euh... Tu veux que je démontre la récurrence ? Ou que je trouve un contre-exemple ? Ou alors j'ai faux ?

Bravo à tous ceux qui ont trouvé

La solution est simple mais je trouve la méthode assez jolie .

Vasimolo

PS : @Fix , ça doit sûrement marcher à coup de récurrence dans le postérieur mais ça doit être plus compliqué ( et plus douloureux ) .