Oui Dylasse

Tu peux supposer dès le départ que b=1 , il est clair que le problème joue uniquement sur le rapport entre les côtés de la gaufrette et celui du gâteau .

Le cas où les côtés de la gaufrette sont premiers entre-eux semble poser problème à tout le monde

Aucune réponse complète pour le moment .

Bon courage aux chercheurs

Vasimolo

Nous avons à peu près la même approche

Il y a un petit détail qui ne me semble pas clair : qu'est-ce qui assure que deux remplissages d'un demi-carré ( sans traverser la diagonale ) seront toujours réalisés avec le même nombre de gaufrettes ?

Vasimolo

Voilà comment j'avais vu les choses ( un peu comme Nodgim ) : la distance « Taxicab » . La distance entre deux points est celle parcourue par un taxi dans les rues et les avenues d’un quadrillage orthonormé .

La distance à 0 d'une gaufrette est celle ( taxicab ) de son coin inférieur-gauche à 0 . On remarque que les points à coordonnées entières à l'intérieur ou à la frontière de deux gaufrettes équidistantes à 0 sont à la même distance du point 0 . On va donc retrouver les mêmes distances à 0 si on considère les gaufrettes de deux pavages d'un même gâteau . De plus toute diagonale passant par des points équidistants à 0 sépare deux gaufrettes équidistantes à 0 de la même façon ( même aire ) .

Maintenant s'il y avait un excédent d'aire d'un côté de la diagonale principale on le retrouverait à l'inverse en faisant une symétrie par rapport à cette diagonale ce qui est en contradiction avec les considérations précédentes .


C’est pas forcément très clair pour tout le monde mais comme dirait Gwen , dans ma tête c’est tout bon

Un grand merci aux participants

Vasimolo

C'est très astucieux je n'y aurais jamais pensé mais il y a des éléments qui bloquent pour moi, je m'y remet demain matin.

Compris effectivement c'est astucieux

Qu'as tu en réserve pour le gâteau 100?

J'aurais une approche différente du problème, qui permet , de plus, de comptabiliser les rectangles.

Je pars du principe que a et b sont comme premiers entre eux, par proportionnalité, on peut toujours ramener le problème à ça en réduisant le carré.
(des rectangles 6x4 dans un carré de 24, c'est comme des rectangles 2x3 dans un carré de 12)

Il y a alors une maille unitaire 1 x 1 dans chaque rectangle m x n , m et n premiers entre eux..
Chaque rectangle posé (à part le premier) inclut un et un seul nouveau multiple de m dans sa largeur et un et un seul  nouveau multiple de n dans sa longueur ce qui définit un point particulier unique dans chaque rectangle.

La grande diagonale contient un certain nombre de multiples de n et/ou m (qui correspondent d'ailleurs aux intersections des deux pavages à orientation unique.)
Elle coupera donc ce nombre de pièces exactement.

J'ai même tendance à dire que c'est valable pour toute diagonale.

Vasimolo a écrit:

Je pars d'un pavage existant et je dis que pour tout autre pavage du même gâteau les gaufrettes recouvriront exactement les mêmes valeurs ( ça se voit de proche en proche en partant de 0)

Je n'arrive pas à voir pourquoi. Peux-tu détailler ce passage et ce "de proche en proche" ?

C'est une récurrence ? Pourrais-tu énoncer clairement la propriété démontrée par récurrence ? Pourrais-tu la démontrer ?

Au départ c'est assez contraint, on voit que l'on doit placer une gaufrette en 2 et une autre en 3, mais l'autre peut a priori se placer en 4 ou 5. Et quand tu es en plein milieu du gâteau, comment savoir où se placent les différentes gaufrettes ?...

Je ne comprends toujours pas. Quelqu'un a-t-il compris ?

Peux-tu faire l'étape 2 sur l'exemple précédent ?

Etape 0 : Une gaufrette en 0, OK.
Etape 1 : Une gaufrette en 2, une en 3, une en 4 ou en en 5
Déjà là, ça pose problème d'avoir un choix non ?
Etape 2 : Quel est le raisonnement maintenant ?

Ces deux demi-pavages permettent tous deux de paver le carré, et les même nombres ne sont pas atteints.

Est-ce du aux formes en jaune ?

Ceci dit, l'un exclut l'autre, tout comme le symétrique de celui du haut s'auto exclut.

Ok j'ai compris, il faut uniquement éliminer les points de départs possibles que recouvre une gaufrette et non tous les points qu'elle touche : ce qui compte quand on pose la première gaufrette en 0, ce n'est pas les points qu'elle recouvre ou que sa frontière va toucher, mais uniquement les nouveaux points de départ qu'elle va éliminer : sur l'exemple du haut, ça sera 0(1 fois), 1(2fois), 2(2fois), 3(1 fois). Ensuite, le numéro de départ possible restant le plus petit est obligatoirement occupé par une gaufrette. Les numéros des gaufrettes placées sont donc indépendants de la configuration choisie pour paver le carré.

Merci Vasimolo pour cette jolie énigme.

Pour illustrer ce que je dis sur l'exemple donné plus haut :
Au départ, il y a en positions de gaufrettes possibles : 0 (1 fois), 1(2 fois), 2(3 fois), 3(4 fois), 4(5 fois), 5(6 fois), ..., 19(2 fois)
Il faut une gaufrette en 0 : Ce qui raye 0(1 fois), 1(2 fois), 2(2 fois), 3(1 fois)
Il reste donc 2(1 fois), 3(3 fois), 4(5 fois), 5(6 fois), ..., 19(2 fois)
Il faut donc une gaufrette en 2 : Ce qui raye 2(1 fois), 3(2 fois), 4(2 fois), 5(1 fois)
Il reste donc 3(1 fois), 4(3 fois), 5(5 fois), 6(7 fois), ..., 19(2 fois)
Il faut donc une gaufrette en 3 : Ce qui raye 3(1 fois), 4(2 fois), 5(2 fois), 6(1 fois)
Il reste donc 4(1 fois), 5(3 fois), 6(6 fois), ..., 19(2 fois)
Il faut donc une gaufrette en 4 : Ce qui raye 4(1 fois), 5(2 fois), 6(2 fois), 7(1 fois)
Il reste donc 5(1 fois), 6(4 fois), 7(7 fois)..., 19(2 fois)
Il faut donc une gaufrette en 5 : Ce qui raye 5(1 fois), 6(2 fois), 7(2 fois), 8(1 fois)
Il reste donc 6(2 fois), 7(5 fois), 8(8 fois)..., 19(2 fois)
Il faut donc deux gaufrettes en 6 : Ce qui raye 6(2 fois), 7(4 fois), 8(4 fois), 9(2 fois)
Il reste donc 7(1 fois), 8(4 fois), 9(8 fois)..., 19(2 fois)
etc...

Peut être une version plus simple de la démo.
Soit a et b donnés comme longeur/largeur de la gaufrette et kab le coté du carré. En partant d'un sommet du carré donné à 0, toute longueur rejoignant la diagonale en passant par des horizontales et des verticales mesure exactement kab. Toute gaufrette se situant à une distance (tjs en passant par les H et les V) <kab est incluse dans le demi carré limité par la diagonale). Toute gaufrette s'exprime par une distance max du zéro en ma+nb (m, n non nuls). La configuration: ttes les gaufrettes sont horizontales (ou verticales) permet d'obtenir ts les couples (m,n) tels que ma+nb<kab. On ne peut pas mieux faire. Par symétrie, on peut donc mettre un max de part et d'autre de la diagonale. Il y a même cardinalité max de gaufrettes non coupées de part et d'autre de la diagonale. Toute autre configuration doit nécessairement obtenir ce max de cardinalité, car sinon il y aura du vide sur la diagonale quand on fera le raccord.

Surface de gaufrettes non coupées identique de part et d'autre de la diagonale, donc surface identique aussi de gaufrettes coupées de part et d'autre de la diagonale.

@gwen : tu vois bien que les mêmes nombres sont atteints en haut et en bas non ?

@nodgim : Le hic dans ta démo c'est que dans une config quelconque on peut obtenir plusieurs gaufrettes ayant la même distance à zéro avec le même m et le même n, et donc il pourrait être possible de caser sous la diagonale plus de gaufrettes que dans la config où toutes les gaufrettes sont horizontales.