Pour clarifier:
- B ne sait pas quel nombre C a donné à A, mais il sait qu'il s'agit du nombre de chiffre en binaire
- A ne sait pas quel nombre C a donné à B, mais il sait qu'il s'agit du nombre de chiffre en ternaire.

Je n'ai pas la réponse, et il se fait tard, donc je chercherais plus tard...
Mais, ce type d'énigmes est assez connu, Wikipedia a meme une page en anglais sur une énigme tres similaire  ici. Cependant, je ne crois pas qu'il existe une page équivalente en francais.

La réponse est 3.
Le zéro est exclu dans le choix. Donc il ne reste qu'un seul nombre à 1 chiffre en base 2 qui est 1. Si A ne peut le deviner c'est qu'on ne lui a pas donné un 1, mais au moins un 2. Comme B fait la même réflexion, et que B connait maintenant la réponse de A, il ne reste que le nombre 2 qui a un chiffre. Si on avait donné 1 à B, il aurait deviné la réponse, donc on n'a pas donné 1 à B. Si A dit ensuit qu'il connait la réponse c'est qu'on lui a donné 2, car il ne reste que le nombre 3 comme solution, 2 ayant été éliminé par la réponse de B. Et si on avait donné un nombre plus grand à A, A aurait été incapable de deviner le nombre de départ, car tout autre nombre qu'il aurait à disposition donnerait trop d'options pour le nombre de départ. Du coup B en déduit aussi la réponse, mais cette dernière info était inutile.

Intéressant.

bonjour.

A et B sont 2 bons logiciens .
Ils savent d'abord que le nombre de bits donné à A et à B  ne peut être le même
que pour les nombres 1 et 3
Dans la discussion il y a 4 affirmations successives : a) , b) , c) et d) .
Alors chronologiquement :
a) si A entend 1 , il peut conclure  n = 1 (c'est le seul entier>0 possible) . Il a donc
eu une réponse >1  . Supposons que A entend 2.
b) Si B a comme réponse 1 , il peut conclure  ---> n = 2 . Donc C ne peut lui avoir
soufflé qu'une réponse >1 . Mais comme on suppose que  A  a eu 2 comme réponse,
il n'a pu avoir que la même réponse (n = 2). Mais si B a comme réponse 2 , pour lui
à ce stade il a 6 réponses possibles (3 , 4 , 5 , 6 , 7 & 8) .Il ne peut donc pas répondre .
c) A , ayant 2 solutions possibles ( 2 et 3) sait maintenant que B n'a pas pu répondre
2 ( B ayant eu comme réponse : le nombre a 2 bits) .
   A peut donc conclure : n = 3
d) B sait que A peut conclure . Il sait aussi que n s'écrit avec 2 bits en binaire et que
3 est le seul nombre que l'on peut écrire avec 2 bits en binaire et 2 bits en base 3
Il peut donc conclure .
Conclusion :  n = 1 --> A répond tout de suite.
                   n = 2 --> c'est B qui obtient la solution .
                   n = 3 --> c'est A qui conclut quand c'est à nouveau à son tour.
                   n > 3 plus personne ne pourra conclure .

3
A : Ca ne peut pas être 1 car ca serait solution unique
B : 1 étant éliminté, ca ne peut donc pas être 2 car serait une solution unique
A : Avec 2 éliminé et une solution unique la seule possibilité est 3
B : sait donc que c'est 3 par déduction

3.

A ne sait pas donc ce n'est pas n=1.
B ne sait pas non plus.

Hypothèses :

B a entendu 1 : n ne peut valoir que que 1 ou 2 , et A ne pouvant pas conclure, il aurait su que n=2.

B a entendu 2 : il ne peut pas conclure, n peut aussi bien être 3 que 4 5 6 7 ou 8
Mais A conclut, ce qui veut dire que le nombre a 2 chiffres en base 2 ce qui ne laisse que 3. Cela permet à B de trancher aussi.

B a entendu plus que  2 : cercle vicieux sans conclusion possible. Seule l'unicité de l'écriture de 1 avec 1 chiffre en base 2 permet d'en sortir si n=3

Je traduis les affirmations
- A: ce n'est pas 1 (sinon j'aurais trouvé)
- B: ce n'est pas 2 non plus
- A: on m'a dit "2 chiffres" donc c'est 3
Et la dernière phrase de B, bien que juste, n'est pas nécessaire.

On écarte d’abord tous les nombres de départ comportant des nombres de chiffres en bases 2 et 3 identiques, car le nombre de départ ne serait alors pas unique. Il ne reste donc que les nombres de départ potentiels 1; 2; 3 et 8.
Au premier tour, A ne sait pas, ce qui élimine 1, et B ne sait pas non plus (mais sait que 1 est écarté), ce qui élimine 2. Au second tour, comme A sait, cela élimine 8 (sinon A ne saurait pas).
Il reste donc le nombre de départ 3 (validé par la case-réponse), mais à mon avis la quatrième et dernière phrase du dialogue est superflue.
Merci pour ce petit divertissement qui m’a rappelé une énigme similaire avec une somme et un produit que j’ai encore aujourd’hui du mal à comprendre.