Enigme "décimal dans binaire" @ Prise2Tete

Migou · #1

Ce matin, j'ai ouvert les yeux à 10h10, et je me suis fait la réflexion suivante :

1010 en binaire = 10 (en décimal), c'est donc un nombre dont la représentation binaire contient la représentation décimale (il la contient même deux fois :-D mais restons raisonnable)

D'où la question ouverte suivante, y a-t-il d'autres nombres dont la repr. binaire contienne la décimale, est-ce vrai pour tout nombre dont la repr. décimale est composée de uns et de zéros ? Sinon, citez un contre exemple.

Enfin, peut-on mettre en évidence une ou plusieurs familles de nombre (décrites par une règle raisonablement simple) qui respectent la contrainte ?

gwen27 · #2

C'est valable pour toutes les puissances de 10.

10 = 1010
en multipliant par 10, on fera apparaitre un zéro à droite.

1010 x 1010 =1100100
100100 x 1010 = 11111101000 ...
Par extention, c'est donc aussi valable pour toutes les puissances de 10 +1

Migou · #3

Félicitations à gwen qui a vu aussi loin que moi sur le sujet.

gwen27 · #4

On peut aussi étendre cette propriété à tous les nombres dont la fin en binaire est le nombre.
Mais on multiplie les nombres à n chiffres par 10^(n-1)

10 a 2 chiffres récurrence x10

11 aussi :
11 1011
110 1101110
1100 10001001100
11000 10101011111000
110000 11010110110110000

Mais ça marche pour 101 avec 3 chiffres donc récurrence x100
101 1100101
10100 10011101110100
1010000 11110110100101010000
101000000 110000001010010001101000000

Migou · #5

Salut gwen, je n'ai pas eu le temps de m'y replonger, mais clairement, bien vu pour les nombre binaires se terminant par eux-même(en décimal).

je me dis qu'une multiplication par d10000 (10000 en décimal) pourrait être efficace car d10000 = b10011100010000 ce qui laisse un 1 isolé. Mais je n'ai pas testé.

Je me dis aussi que les nombres binaires augmentant en taille plus vite que leur pendant décimal, la probabilité que le phénomène se produise pour des grands nombres devrait tendre vers 1.

gwen27 · #6

La dernière réflexion, je ne pense pas...

Un nombre avec 1 chiffre de plus, a en gros trois chiffres de plus en binaire. (des fois 4)

Deux fois plus de possibilités d'un côté (un chiffre de plus) et seulement 3 de plus en glissant de l'autre.

Je pense que ça tend vers 0.

Migou · #7

Hmm, je vois, le ratio des tailles reste constant quel que soit le nombre :

taille binaire / taille décimal = log(10)/log(2)

gwen27 · #8

Ca n'est pas le plus important, même si c'est vrai...
En décimal, on a 2^n possibilités (n-1, mais c'est du détail)
En base 2, on a juste le choix d'une combinaison extraite d'une liste, donc c'est lié à la taille de la liste en terme de grandeur.

2^n / n tend vers zéro.
Si ça se trouve, en allant très loin, on aura le même nombre de nombres à chaque nombre de chiffres. Sauf que 1/1,1/10 ou 1/000000000000000000000, ça finit par ne pas faire beaucoup.

Jusqu'à 1/2 ça tend vers 1 (1/2 + 1/4 + 1/8... )
Au delà , ça tend vers 0

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.	Déconnexion
Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier. Accueil Forum	[+]

#1 - 03-01-2026 13:51:46

"décimla dans binaire"

#0 Pub

#2 - 03-01-2026 17:14:33

"décimal dan binaire"

#3 - 04-01-2026 02:06:42

&quto;décimal dans binaire"

#4 - 04-01-2026 13:58:55

"décimal dans binaire&"

#5 - 07-01-2026 14:43:19

"décimal fans binaire"

#6 - 07-01-2026 20:31:13

"décimall dans binaire"

#7 - 09-01-2026 00:21:33

"décimal dans binnaire"

#8 - 09-01-2026 19:54:41

"décimal dans binaire&quit;

Réponse rapide

Sujets similaires

Pied de page des forums