Ben d'abord je me suis intéressé à savoir quel nombre on était en train d'écrire au 20 009 ème chiffre. Donc j'ai calculé le nombre de chiffres qu'il fallait écrire pour arriver à ce fameux N qu'on cherche.
Donc de 1 à 9, on a utilisé 45 chiffres.
Ensuite, de 10 à 99, comme ce sont des nombres à deux chiffres, on a utilisé 2*10 + 2*11 + ... +2*99 chiffres soit 2*(10+11+...+99). Avec la formule de la somme des termes d'une suite arithmétique, j'ai donc trouvé 9810 chiffres pour les écrire de 10 à 99 (chaque nombre étant toujours écris autant de fois que sa valeur). Donc pour écrire de 1 à 99, j'ai utilisé 9855 chiffres.
On voit donc que c'est inférieur à 20 009, donc notre fameux N sera un nombre à 3 chiffres. Pour les nombres à 3 chiffres, de 100 à N, on a utilisé :
3*100+3*101+...+3*N chiffres, soit 3*(100+101+...+N). Donc si on appelle A cette expression, on a A = 3*(100+101+...+N)= 3*(1+2+...+N) - 3*(1+2+...+99) = (3/2)*(N)(N+1) - 14850 (j'aurais pu le faire directement avec 3*(100+101+...+N) mais c'était + galère pour après)
Donc pour écrire les nombres de 1 à N il faut (3/2)*(N)(N+1) - 14850 + 9855 chiffres. Or nous on veut 20 009 chiffres. On résout donc l'équation :
(3/2)*(N)(N+1) - 4995 = 20 009
C'est une équation du second degré et nous ya que la solution positive qui nous intéresse et on trouve N=128.61....
En appliquant la formule, on trouve que jusqu'au nombre 128, il a fallu écrire 19 773 chiffres. On est donc, au 20 009ème chiffre, en train d'écrire la séquence des 129 !!!
Ensuite, on remarque que 20 009 - 19 773 = 236. et 236/3=78.66666
Donc en écrivant 78 fois les nombre 129 (après avoir écris les 19773 autres chiffres), on a écrit 20 007 chiffres !!! il suffit donc d'entamer l'écriture du 79ème 129 et le 20 009 ème chiffre est donc un 2.
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