|
#1 - 02-11-2010 21:16:46
- EfCeBa
- Administrateur
- Enigmes résolues : ∞+1
- Messages : 11×569
Prouver que (k+4)!/(k!)+1 est un caré parfait
Un petit exercice trouvé sur un livre de mathématique pour terminale, il utilise les factorielles, il s'agit de prouver que [latex]\frac{(k+4)!}{k!} + 1 = a^2[/latex] avec a entier.
#2 - 02-11-2010 21:39:49
- Yannek
- Passionné de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 10
- Messages : 60
Prouver quee (k+4)!/(k!)+1 est un carré parfait
Soit a=k²+5k+5. Alors [TeX]\frac{(k+4)!}{k!}=(k+4)(k+3)(k+2)(k+1) =(k+4)(k+1)(k+3)(k+2) =(k^2+5k+4)(k^2+5k+6) =(a-1)(a+1)=a^2-1[/TeX] ce qui équivaut à [latex]\frac{(k+4)!}{k!}+1=a^2[/latex]
#3 - 02-11-2010 21:50:10
- shadock
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 39
- Messages : 3334
Prouver que (k+4)!/(k!)+1 est un carré prfait
"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
#4 - 02-11-2010 21:53:32
- luthin
- Professionnel de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 36
- Messages : 124
Prouver que (k+4)!/(k!)+1 est un caré parfait
Amusant! [TeX]\begin{eqnarray} &\frac{(k+4)!}{k!}+1&=(k+1)(k+4)(k+2)(k+3) +1\\ & &=\left(k+\frac 52-\frac 32\right)\left(k+\frac 52+\frac 32\right)\left(k+\frac 52-\frac 12\right)\left(k+\frac 52 +\frac 12\right) +1\\ & &=\left((k+\frac 52)^2-(\frac 32)^2\right)\left((k+\frac 52)^2-(\frac 12)^2\right)+1 \\ & &=\left((k+\frac 52)^2-\frac 54-1\right)\left((k+\frac 52)^2-\frac 54 +1\right)+1\\ & &=\left((k+\frac 52)^2-\frac 54\right)^2 \\ & &=(k^2+5k+5)^2 \end{eqnarray}[/TeX] CQFD, merci.
#5 - 02-11-2010 21:55:29
- papiauche
- Sa Sainteté
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 2131
prouver que (k+4)!/(k!)+1 esy un carré parfait
[TeX](k+1)(k+2)(k+3)(k+4)=k^4+10 k^3+35 k^2+50 k+24
k^4+10 k^3+35 k^2+50 k+24+1= (k(k+5)+5)^2[/TeX] Donc: [TeX]a = k(k+5)+5[/TeX] Et hop!
"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde
#6 - 02-11-2010 22:08:48
- scarta
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 1939
Prouver qe (k+4)!/(k!)+1 est un carré parfait
[TeX]\frac{(k+4)!}{k!}[/latex] est le produit de 4 nombres consécutifs. On va poser k+3 = a (a-2)(a-1)(a)(a+1) +1 = a^4 -2a^3 -a^2 +2a + 1 Changement de variable a = b+1/2 b^4 -5b^2 / 2 +25/16 Formule de Ferrari (b^2+c)^2 -5b^2 / 2 +25/16 -2cb^2 -c^2 = (b^2+c)^2 -(5/2 + 2c).b^2 +25/16 -c^2
On veut (5/2 + 2c).b^2 -25/16 +c^2 carré ssi delta = -4*(c^2-25/16)(5/2+2c) = 0 donc c = 5/4 ou c = -5/4 (2 fois), mais cette valeur annule tout le polynôme. On prend donc c = 5/4, le polynôme vaut 5b^2
On reprend notre gros polynôme (b^2+c)^2 -(5/2 + 2c).b^2 +25/16 -c^2 = (b^2+5/4)^2 - (b.sqrt(5)) ^2 = (b^2+5/4 +b.sqrt(5)) (b^2+5/4 - b.sqrt(5)) = 0 si (b^2+5/4 +b.sqrt(5)) = 0 ou si (b^2+5/4 - b.sqrt(5)) = 0 b^2 +/- b.sqrt(5) + 5/4 = 0 delta = 5-5 = 0 Une racine double dans les deux cas: +/- sqrt(5) / 2 Notre polynôme devient alors (b+sqrt(5)/2)^2 * (b-sqrt(5)/2)^2
On rechange notre variable b en a, b = a-1/2 [latex](a-\frac{1+\sqrt(5)}{2})^2.(a-\frac{1-\sqrt(5)}{2})^2=\\ ((a-\frac{1+\sqrt(5)}{2}).(a-\frac{1-\sqrt(5)}{2}))^2=\\ (a^2-a-1)^2[/TeX] C'est un carré, d'un nombre entier.
Pour répondre à l'énoncé donc, [latex]\frac{(k+4)!}{k!} + 1 = (k^2+5k+5)^2[/latex]
Et voilà !!!
PS: je sais bien que niveau terminale, on aurait plutôt essayé de trouver des coefficients A, B et C tels que (Ax^2 + Bx + C)^2 soit égal à x^4 -2x^3 -x^2 +2x + 1 en identifiant les coefficients, mais bon voilà: pas envie :p :p :p
Edit : Ah mais suis-je bête !!! Ca tient en 3 lignes !!! (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = (k+1)(k+4) . (k+2)(k+3) = (k^2+5k+4) . (k^2+5k+6) = (Q-1)(Q+1) =Q^2-1 avec Q = k^2+5k+5
#7 - 02-11-2010 22:33:36
- scrablor
- Expert de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 964
Prouvre que (k+4)!/(k!)+1 est un carré parfait
C'est (k²+5k+5)². Étonnant non ?
Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.
#8 - 02-11-2010 23:02:35
- franck9525
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 48
- Messages : 1935
- Lieu: 86310
Prouevr que (k+4)!/(k!)+1 est un carré parfait
on décompose et on obtient: [TeX]=(k+4)(k+3)(k+2)(k+1)+1 =[(k+4)(k+1)]\time[(k+2)(k+3)]+1 =(k^2+5k+4)\time(k^2+5k+6)+1[/TeX] or [latex] n(n+2)+1=(n+1)^2[/latex] ce qui donne [TeX](k^2+5k+4)(k^2+5k+6)+1=(k^2+5k+5)^2=a^2[/TeX]
The proof of the pudding is in the eating.
#9 - 02-11-2010 23:25:00
- supercab
- Habitué de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 43
- Messages : 20
Prouver qque (k+4)!/(k!)+1 est un carré parfait
Calculons tout simplement: [TeX] \frac{(k+4)!}{k!}+1 = (k+4)(k+3)(k+2)(k+1)+1
\frac{(k+4)!}{k!}+1 = k^4+10 k^3 + 35 k^2 + 50 k + 25
\frac{(k+4)!}{k!}+1 = k^4+(10 k^3+10k^2)+25k^2+50k+25
\frac{(k+4)!}{k!}+1 = (k^2)^2+2*k^2*(5k+5) + (5k+5)^2
\frac{(k+4)!}{k!}+1 = (k^2 + 5k + 5)^2 [/TeX] On a utiliser aux passages des lignes 3 à 4 et 4 à 5 l'identité remarquable: [TeX](a+b)^2=a^2 + 2ab + b^2 [/TeX]
#10 - 03-11-2010 02:11:36
- McFlambi
- Professionnel de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 48
- Messages : 144
Prouver ue (k+4)!/(k!)+1 est un carré parfait
Si ca peut etre un carre de [latex]a[/latex], c'est qu'il peut etre de la forme [latex]k^2+bk+c[/latex] comme ci dessous [TeX]\begin{array}{rl}\frac{(k+4) !}{k!}+1 & = (k+4)(k+3)(k+2)(k+1)+1 \\ & = k^4+10 k^3+35 k^2+50 k+25 \\ & =a^2 \\ & = (k^2+ b k+ c)^2 \\ & = k^4+ 2bk^3 + (2c+b^2)k^2 + 2bc k + c^2
\end{array}[/TeX] il semble donc que [latex]b=c=5[/latex] convient... c'est donc bien un carre, et ce carre est [TeX](k^2+5 k +5)^2[/TeX]
#11 - 03-11-2010 07:25:15
- Yanyan
- Expert de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 29
- Messages : 509
- Lieu: Lille si j'y suis
Prouver que (k+4)!/(k!)+1 set un carré parfait
[TeX](k+1)(k+2)(k+3)(k+4)+1=(k^2+3k+2)(k^2+7k+12)+1 =k^4+10k^3+35k^2+50k+25=(k^2+5k+5)^2[/TeX]
Un mathématicien complet est topologiquement fermé!
#12 - 03-11-2010 10:03:03
- rivas
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 48
- Messages : 1106
- Lieu: Jacou
Prouver que (k+4)!/(k!)+1 est un carré pparfait
#13 - 03-11-2010 11:21:01
- Fireblade
- Habitué de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 0
- Messages : 34
prouver qye (k+4)!/(k!)+1 est un carré parfait
#14 - 03-11-2010 14:54:20
Prouver que (k+4)!/(k!)+1 est un carré parfiat
(k+4)!/k! + 1 = (k^2+5k+5)^2 soit a = k^2+5k+5
#15 - 03-11-2010 18:27:10
- gabrielduflot
- Expert de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 34
- Messages : 609
Prouver que (k+4)!/(k!)+1 est un acrré parfait
(k+4)(k+3)(k+2)(k+1)+1=[latex](k^2+7k+12)(k^2+3k+2)+1[/latex]=[latex]k^4+10k^3+35k^2+50k+25[/latex]=[latex](k^2+5k+5)^2[/latex]
#16 - 04-11-2010 12:12:31
prouver que (k+4)!/(k!)+1 est un carré parfaut
En simplifiant on obtient : (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = (a+1)(a-1) => [(k+1)(k+4)]*[(k+2)(k+3)] = (a+1)(a-1) [k^2 + 5k + 4] * [k^2 + 5k + 6] = (a+1)(a-1) => [(k^2 + 5k + 5) - 1] * [(k^2 + 5k + 5) +1] = (a+1)(a-1)
Donc a = k^2 + 5k + 5
#17 - 05-11-2010 10:40:29
- Milou_le_viking
- Professionnel de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 30
- Messages : 446
Prouver que (k+4)!/(k!)+1 est un arré parfait
Salut, [TeX]\frac{\left ( k+4 \right )!}{k!}+1\,\,\,avec\,k\in\mathbb{N} \\= \left ( k+1 \right )\left ( k+2 \right )\left ( k+3 \right )\left ( k+4 \right )+1 \\= k^{4}+10k^{3}+35k^{2}+50k+25 \\= (k^{2}+5k+5)^{2} \\=a^{2} \\\Leftrightarrow \\a=(k^{2}+5k+5) \\\Rightarrow \\a\in \mathbb{Z} \\\Leftrightarrow \\a^{2}\in \left \{ ensemble\, des\, carres\, parfaits \right \} \\ \\ \\C.Q.F.D.[/TeX]
#18 - 06-11-2010 00:36:39
- shadock
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 39
- Messages : 3334
Prouver que (k+4)!/(k!))+1 est un carré parfait
Je trouve que je m'en suis bien tiré j'ai trouvé la bonne réponse *sentiment de joie* Youpi!!!
"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
#19 - 06-11-2010 15:04:57
- MthS-MlndN
- Hors d'u-Sage
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 12,414E+3
- Lieu: Rouen
Prouver que (k+4)!/(k!!)+1 est un carré parfait
Comment ai-je fait pour ne pas aller jusqu'au bout ? En plus, j'avais eu l'idée de rassembler (k+1)(k+4) d'un côté, et (k+2)(k+3) de l'autre, alors pourquoi ai-je eu la flemme de juste écrire ce que ça donnait, p**ain ?
(Je m'en veux à mort )
Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
#20 - 06-11-2010 16:38:32
- franck9525
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 48
- Messages : 1935
- Lieu: 86310
Prouver que (k+4)!(/k!)+1 est un carré parfait
Y'a vraiment un truc que je pige pas...
Tantôt tu ponds des théories géniales parfaitement démontrées, claires, brillantes... Tantôt t'as même pas le niveau du boutonneux qui pose une question pour son DM...
The proof of the pudding is in the eating.
#21 - 06-11-2010 16:49:13
- MthS-MlndN
- Hors d'u-Sage
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 12,414E+3
- Lieu: Rouen
prouver que (k+4)!/(k!)+1 est un varré parfait
Moi aussi, ça m'épate, d'être à la fois aussi brillant et aussi naze. Je n'ai jamais su choisir
Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
#22 - 06-11-2010 18:28:23
- engine
- Professionnel de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 37
- Messages : 351
Prouver que (k+4)!//(k!)+1 est un carré parfait
Merde j'étais pas si loin.
plouf
Mots clés des moteurs de recherche
|
|
Prise2Tete
Forum
Statistiques
Liste des membres
Hall of Fame
Contact
|