Enigme Math'OO @ Prise2Tete

SaintPierre · #1

Sur un cercle de périmètre 24 cm, on place des points de façon que les arcs de cercle compris entre deux points consécutifs mesurent tous 2 ou 3 cm. De plus, en joignant deux points quelconques, on n'obtient jamais un diamètre du cercle.

Combien d'arcs de cercle de longueur 3 cm sont déterminés par les points placés sur le cercle ?

MthS-MlndN · #2

D'après ce que j'ai réussi à bidouiller jusque-là, deux ou six. Je n'arrive pas à trouver un exemple à quatre, sans savoir pourquoi... Ai-je raison de penser qu'il est impossible qu'il y en ait quatre ?

SaintPierre · #3

Oui.

franck9525 · #4

Il faut 2 arcs de 3cm pratiquement opposés l'un à l'autre.

SaintPierre · #5

1. Encore faut-il le prouver.
2. Est-ce la seule solution ?

esereth · #6

Bonsoir,

Je tente:
Il faut chercher x arcs de longueur 2 et y arcs de longueurs 3 de sorte que 2x+3y=24

y est donc pair et x multiple de 3.

y=0 et x=12
y=8 et x=0 ne fonctionnent pas

y=2 et x=9 donne une solution si on place
32222322222

y=6 et x=3 donne
332332332

Pour y=4 et x=6, j'ai l'impression qu'il n'y a pas de solutions et que ça vient du fait que y=2 et x=3 est solution de 2x+3y=12

Franky1103 · #7

Re-bonjour,
Nous avons 2 x 12 = 3 x 8 = 24: nous ne pourrons donc n'avoir que 9, 10 ou 11 points. Etudions chaque cas séparément, en tenant compte des symétries et des décalages cycliques pour les combinaisons possibles.
Mes points sont numérotés de 1 à 24, mais ce sont surtout les espacements qui comptent.
Cas de 9 points: Nous avons 3x2 + 6x3 = 24 avec 7 combinaisons possibles dont 3 acceptables qui sont: 1 4 7 9 12 15 17 20 23; 1 4 7 10 12 15 18 20 23 et 1 4 7 10 12 15 18 21 23; obtenues avec des espacements respectifs de 332332332; 333233232 et 333233322.
Cas de 10 points: Nous avons 6x2 + 4x3 = 24 avec 17 combinaisons possibles dont aucune acceptable.
Cas de 11 points: Nous avons 9x2 + 2x3 = 24 avec 5 combinaisons possibles dont 1 seule acceptable qui est: 1 4 6 8 10 12 15 17 19 21 23; obtenue avec un espacement de 32222322222.
Au total, j'ai donc 2 solutions: 6 arcs (pour 9 points) et 2 arcs (pour 11 points).
Re bonne soirée.
Frank

Edit: J'ai rectifié ma réponse: 2 solutions (correspondant à 4 configurations géométriquement différentes).

SaintPierre · #8

Il n'y a que 2 solutions.

gwen27 · #9

c'est 6 ou 2

22223222223
233322333
232332333

SaintPierre · #10

Oui, Gwen !

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#1 - 19-08-2011 18:15:42

ath'OO

#0 Pub

#2 - 19-08-2011 18:29:37

Math'OOO

#3 - 19-08-2011 18:31:43

Matth'OO

#4 - 19-08-2011 18:45:13

Math'O

#5 - 19-08-2011 18:48:10

Mtah'OO

#6 - 19-08-2011 22:46:38

lath'oo

#7 - 20-08-2011 01:51:05

Math'O

#8 - 20-08-2011 11:53:24

mzth'oo

#9 - 20-08-2011 15:30:45

Maath'OO

#10 - 20-08-2011 15:38:19

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