Soyez indulgent, ceci est ma première énigme.

Un exemple : on peut décomposer le nombre 2012 avec une somme de 7 cubes  :
$$2012 = 10^3+10^3+2^3+1^3+1^3+1^3+1^3[/latex]. Mais on peut faire mieux:           [latex]2012 = 11^3+8^3+8^3+(-7)^3$$
Voici la question :
Quel est le plus petit entier naturel  $n$ qui vérifie :

Il existe $n$ entiers relatifs $a_1, a_2, ..., a_n$ tels que
$$a_1^3+a_2^3+ ... + a_n^3 = 2011^{2010^{2009^{...^{2^{1}}}}}$$