Je dirais 1 !

Si on prend : $a_1 = 2011^{2010^{...^{4^{2^{1}}}}}$ (c'est-à-dire 2011 élevé à la puissance 2010, le tout élevé à la puissance 2009, ..., le tout élevé à la puissance 5, le tout élevé à la puissance 4, le tout élevé à la puissance 2 et enfin, le tout élevé à la puissance 1), alors, en mettant tout au cube, on a :

$a_1^3 = 2011^{2010^{...^{4^{3^{2^{1}}}}}}$ (puisqu'on peut intervertir les puissances : $2^{4^{3}} = 2^{3^{4}}$)

Et on retrouve le nombre de départ. Mais j'me sens coupable de répondre à une énigme pareille comme ça . C'est plus trop une somme du coup. Enfin j'me dis que j'ai peut-être repéré la subtilité de l'énoncé .

Enigme intéressante en tous les cas. Alexein41.

EDIT bon j'ai trop de mal a manier les puissances !
$$(a^{\frac{b}{3}})^3 = a^b$$
on remarque que ici $b=2010^{2009^{{...}^2}}$
or 2010 est un multiple de 3, donc élevé a une puissance, ca reste un multiple de 3. donc b/3 est entier, donc $a^b$ aussi, on a notre unique solution.

1 puisque ce nombre 2011^2010^2009...^4^3^2^1
est le cube de 2011^2010....^4^2^1

Bon, alors  avec les priorités

2011^2010^2009......^5^4^3^2^1 est un cube vu que 2010 est multiple de 3

2010 ^(2009^2008...^2^1) est aussi multiple de 3

2011^2010^2009......^5^4^3^2^1
= 2011^[2010^(2009......^5^4^3^2^1-1)x670]^3

Sur plusieurs réponses proposées je vois une petite confusion. Je me dois donc de lever toute ambiguïté. Par exemple :
Les priorités opératoires donnent  :
$$7^{2^{3}}=7^8$$
Ce qui est différent de :
$$(7^2)^3=7^6$$
J'espère que cela va vous permettre de prendre ce problème par le bon bout de votre pensée.

$$2011^{2010^{...^{4^{3^{2^1}}}}} = \left( 2011^{2010^{...^{4^{3}}}} \right)^3$$
Donc n=1

Merci pour avoir cherché une peu (c'était un grande première pour moi).

En effet, un seul cube suffisait.
Il suffisait comme je l'ai vu si souvent écrit, d'exploiter le fait que 2010 était un multiple de 3 :  $2010=3\times670$


Notons $\alpha=2009^{2008^{...^{2^1}}}$

On a
$$2011^{2010^{2009^{...^{2^1}}}} = 2011^^{2010^\alpha}$$
$$=2011^{(3\times670)^\alpha}$$
$$=2011^{3^\alpha\times670^\alpha}$$
$$=2011^{3^{\alpha-1}\times670^\alpha\times3}$$
$$=(2011^{3^{\alpha-1}\times670^\alpha})^3$$

Mathias, en réalité:
$$\left( 2011^{2010^{{...}^{4^3}}} \right)^3= 2011^{3\cdot (2010^{{...}^{4^3}})}$$

Bah j'ai du mal aussi, visiblement