Enigmes

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 #1 - 01-06-2011 20:59:50

ksavier
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 166

Somme de quelque scubes

Soyez indulgent, ceci est ma première énigme.

Un exemple : on peut décomposer le nombre 2012 avec une somme de 7 cubes  :
[TeX] 2012 = 10^3+10^3+2^3+1^3+1^3+1^3+1^3[/latex].
Mais on peut faire mieux:
          [latex]2012 = 11^3+8^3+8^3+(-7)^3[/TeX]
Voici la question :
Quel est le plus petit entier naturel  [latex]n[/latex] qui vérifie :

Il existe [latex]n[/latex] entiers relatifs [latex]a_1, a_2, ..., a_n[/latex] tels que
[TeX]a_1^3+a_2^3+ ... + a_n^3 = 2011^{2010^{2009^{...^{2^{1}}}}}[/TeX]



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 #2 - 01-06-2011 21:46:07

Alexein41
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 119

sommr de quelques cubes

Je dirais 1 !

Si on prend : [latex]a_1 = 2011^{2010^{...^{4^{2^{1}}}}}[/latex] (c'est-à-dire 2011 élevé à la puissance 2010, le tout élevé à la puissance 2009, ..., le tout élevé à la puissance 5, le tout élevé à la puissance 4, le tout élevé à la puissance 2 et enfin, le tout élevé à la puissance 1), alors, en mettant tout au cube, on a :

[latex]a_1^3 = 2011^{2010^{...^{4^{3^{2^{1}}}}}}[/latex] (puisqu'on peut intervertir les puissances : [latex]2^{4^{3}} = 2^{3^{4}}[/latex])

Et on retrouve le nombre de départ. Mais j'me sens coupable de répondre à une énigme pareille comme ça lol. C'est plus trop une somme du coup. Enfin j'me dis que j'ai peut-être repéré la subtilité de l'énoncé tongue.

Enigme intéressante en tous les cas. Alexein41. smile

 #3 - 01-06-2011 22:26:16

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 198

somme de quelqued cubes

n=1 car 2010 est divisible par 3.

 #4 - 01-06-2011 22:37:52

Bamby2
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 152

Sommee de quelques cubes

EDIT bon j'ai trop de mal a manier les puissances !
[TeX](a^{\frac{b}{3}})^3 = a^b[/TeX]
on remarque que ici [latex]b=2010^{2009^{{...}^2}}[/latex]
or 2010 est un multiple de 3, donc élevé a une puissance, ca reste un multiple de 3. donc b/3 est entier, donc [latex]a^b[/latex] aussi, on a notre unique solution.

 #5 - 02-06-2011 08:41:56

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Somme e quelques cubes

Je dirais n=1 car le nombre considéré vaut [latex]2011^{...{3^{2}}}[/latex] et [latex]3^2[/latex] est divisible par 3.


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #6 - 02-06-2011 09:04:34

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,466E+3

Somme de quelque scubes

1 puisque ce nombre 2011^2010^2009...^4^3^2^1
est le cube de 2011^2010....^4^2^1

Bon, alors  avec les priorités

2011^2010^2009......^5^4^3^2^1 est un cube vu que 2010 est multiple de 3

2010 ^(2009^2008...^2^1) est aussi multiple de 3

2011^2010^2009......^5^4^3^2^1
= 2011^[2010^(2009......^5^4^3^2^1-1)x670]^3

 #7 - 02-06-2011 09:11:40

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3761
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

somme de quelques cibes

Bonjour,

Voici ce que j'ai trouvé sur Internet :

a) tout nombre entier est décomposable en somme d'au plus 9 cubes positifs.
Les deux seuls qui nécessitent les 9 termes sont :
[TeX]23 = 2 * 2^3 + 7 * 1^3[/TeX]
[TeX]239 = 2 * 4^3 + 4 * 3^3 + 3 * 1^3[/TeX]
b) tout nombre entier est décomposable d'une infinité de manière en somme d'au plus 5 cubes positifs ou négatifs.

c) tout entier qui ne laisse pas un reste de 4 ou 5 lors d'une division par 9, peut se décomposer en somme de 4 cubes positifs ou négatifs.

Mais ne me demande pas de démontrer tout ça... lol

Pour en revenir à ton problème, vu que ton nombre, aussi astronomique qu'il soit, est un cube (car 2010 est un multiple de 3), le nombre [latex]n[/latex] que tu cherches est 1.

En effet, le nombre astronomique peut s'écrire [latex]2011^{3k^{k'}}[/latex]

Très bonne question, n'hésite pas à en poser d'autres...
Klim.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #8 - 02-06-2011 09:17:57

ksavier
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 166

somme de quelques cuves

Sur plusieurs réponses proposées je vois une petite confusion. Je me dois donc de lever toute ambiguïté. Par exemple :
Les priorités opératoires donnent  :
[TeX]7^{2^{3}}=7^8[/TeX]
Ce qui est différent de :
[TeX](7^2)^3=7^6[/TeX]
J'espère que cela va vous permettre de prendre ce problème par le bon bout de votre pensée.

 #9 - 02-06-2011 11:16:02

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

Somme de quelquess cubes

La réponse est 1 car 2010 à une puissance quelconque est un multiple de 3,
de ce fait, 2011 est élevé à une puissance multiple de 3.

 #10 - 02-06-2011 22:28:40

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

somme de quzlques cubes

[TeX]2011^{2010^{...^{4^{3^{2^1}}}}} = \left( 2011^{2010^{...^{4^{3}}}} \right)^3[/TeX]
Donc n=1 smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #11 - 03-06-2011 08:50:26

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Somme dde quelques cubes

Ce nombre est un cube....
Sinon, n'importe quel nombre est somme de 4 cubes algébriques, et à partir d'un certain nombre entier, tout nombre est somme de 4 cubes naturels.
En revanche, l'ensemble des nombres somme de 3 cubes algébriques n'est pas N.
Plus généralement, pour être certain qu'un nombre n suffisamment grand soit somme de puissances de m d'entiers, il faudra utiliser m+1 termes.

 #12 - 04-06-2011 21:14:28

ksavier
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 166

Somme de queqlues cubes

Merci pour avoir cherché une peu (c'était un grande première pour moi).

En effet, un seul cube suffisait.
Il suffisait comme je l'ai vu si souvent écrit, d'exploiter le fait que 2010 était un multiple de 3 :  [latex]2010=3\times670[/latex]


Notons [latex]\alpha=2009^{2008^{...^{2^1}}}[/latex]

On a
[TeX]2011^{2010^{2009^{...^{2^1}}}} = 2011^^{2010^\alpha}[/TeX]
[TeX]=2011^{(3\times670)^\alpha}[/TeX]
[TeX]=2011^{3^\alpha\times670^\alpha}[/TeX]
[TeX]=2011^{3^{\alpha-1}\times670^\alpha\times3}[/TeX]
[TeX]=(2011^{3^{\alpha-1}\times670^\alpha})^3[/TeX]
lol

 #13 - 06-06-2011 17:03:17

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Some de quelques cubes

MthS-MlndN a écrit:

[latex]2011^{2010^{...^{4^{3^{2^1}}}}} = \left( 2011^{2010^{...^{4^{3}}}} \right)^3[/latex]

Ca marche, non ? Et c'est sans doute plus simple a écrire...


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #14 - 06-06-2011 17:13:46

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 198

Somme de quelques cube

Mathias, en réalité:
[TeX]\left( 2011^{2010^{{...}^{4^3}}} \right)^3= 2011^{3\cdot (2010^{{...}^{4^3}})}[/TeX]

 #15 - 06-06-2011 17:21:33

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

somme de quelqued cubes

Moi j'ai du mal avec ces empilements de puissances, en général on fait des puissances successivement, par exemple 2 puissance 3, le tout puissance 4, le tout puissance 5...


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #16 - 06-06-2011 17:26:50

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Somme de quuelques cubes

Bah j'ai du mal aussi, visiblement lol


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