 |
#1 - 01-06-2011 20:59:50
- ksavier
- Professionnel de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 166
somme de quelques cybes
Soyez indulgent, ceci est ma première énigme.
Un exemple : on peut décomposer le nombre 2012 avec une somme de 7 cubes : [TeX] 2012 = 10^3+10^3+2^3+1^3+1^3+1^3+1^3[/latex]. Mais on peut faire mieux: [latex]2012 = 11^3+8^3+8^3+(-7)^3[/TeX] Voici la question : Quel est le plus petit entier naturel [latex]n[/latex] qui vérifie :
Il existe [latex]n[/latex] entiers relatifs [latex]a_1, a_2, ..., a_n[/latex] tels que [TeX]a_1^3+a_2^3+ ... + a_n^3 = 2011^{2010^{2009^{...^{2^{1}}}}}[/TeX]
#2 - 01-06-2011 21:46:07
- Alexein41
- Professionnel de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 29
- Messages : 119
#3 - 01-06-2011 22:26:16
- irmo322
- Professionnel de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 36
- Messages : 203
Somme de qelques cubes
n=1 car 2010 est divisible par 3.
#4 - 01-06-2011 22:37:52
- Bamby2
- Professionnel de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 0
- Messages : 152
somme de quelqueq cubes
EDIT bon j'ai trop de mal a manier les puissances ! [TeX](a^{\frac{b}{3}})^3 = a^b[/TeX] on remarque que ici [latex]b=2010^{2009^{{...}^2}}[/latex] or 2010 est un multiple de 3, donc élevé a une puissance, ca reste un multiple de 3. donc b/3 est entier, donc [latex]a^b[/latex] aussi, on a notre unique solution.
#5 - 02-06-2011 08:41:56
- Yanyan
- Expert de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 29
- Messages : 509
- Lieu: Lille si j'y suis
somme de quelques cibes
Je dirais n=1 car le nombre considéré vaut [latex]2011^{...{3^{2}}}[/latex] et [latex]3^2[/latex] est divisible par 3.
Un mathématicien complet est topologiquement fermé!
#6 - 02-06-2011 09:04:34
- gwen27
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 5,894E+3
Somme de uqelques cubes
1 puisque ce nombre 2011^2010^2009...^4^3^2^1 est le cube de 2011^2010....^4^2^1
Bon, alors avec les priorités
2011^2010^2009......^5^4^3^2^1 est un cube vu que 2010 est multiple de 3
2010 ^(2009^2008...^2^1) est aussi multiple de 3
2011^2010^2009......^5^4^3^2^1 = 2011^[2010^(2009......^5^4^3^2^1-1)x670]^3
#7 - 02-06-2011 09:11:40
- Klimrod
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 40
- Messages : 4039
- Lieu: hébesphénorotonde triangulaire
Some de quelques cubes
Bonjour,
Voici ce que j'ai trouvé sur Internet :
a) tout nombre entier est décomposable en somme d'au plus 9 cubes positifs. Les deux seuls qui nécessitent les 9 termes sont : [TeX]23 = 2 * 2^3 + 7 * 1^3[/TeX] [TeX]239 = 2 * 4^3 + 4 * 3^3 + 3 * 1^3[/TeX] b) tout nombre entier est décomposable d'une infinité de manière en somme d'au plus 5 cubes positifs ou négatifs.
c) tout entier qui ne laisse pas un reste de 4 ou 5 lors d'une division par 9, peut se décomposer en somme de 4 cubes positifs ou négatifs.
Mais ne me demande pas de démontrer tout ça... 
Pour en revenir à ton problème, vu que ton nombre, aussi astronomique qu'il soit, est un cube (car 2010 est un multiple de 3), le nombre [latex]n[/latex] que tu cherches est 1.
En effet, le nombre astronomique peut s'écrire [latex]2011^{3k^{k'}}[/latex]
Très bonne question, n'hésite pas à en poser d'autres... Klim.
J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.
#8 - 02-06-2011 09:17:57
- ksavier
- Professionnel de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 166
somme de quelques cunes
Sur plusieurs réponses proposées je vois une petite confusion. Je me dois donc de lever toute ambiguïté. Par exemple : Les priorités opératoires donnent : [TeX]7^{2^{3}}=7^8[/TeX] Ce qui est différent de : [TeX](7^2)^3=7^6[/TeX] J'espère que cela va vous permettre de prendre ce problème par le bon bout de votre pensée.
#9 - 02-06-2011 11:16:02
- halloduda
- Professionnel de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 24
- Messages : 495
- Lieu: Ardèche
Somme de quelques cbues
La réponse est 1 car 2010 à une puissance quelconque est un multiple de 3, de ce fait, 2011 est élevé à une puissance multiple de 3.
#10 - 02-06-2011 22:28:40
- MthS-MlndN
- Hors d'u-Sage
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 12,414E+3
- Lieu: Rouen
somme de quelques cunes
[TeX]2011^{2010^{...^{4^{3^{2^1}}}}} = \left( 2011^{2010^{...^{4^{3}}}} \right)^3[/TeX] Donc n=1 
Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
#11 - 03-06-2011 08:50:26
- nodgim
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 0
- Messages : 3801
somme de qielques cubes
Ce nombre est un cube.... Sinon, n'importe quel nombre est somme de 4 cubes algébriques, et à partir d'un certain nombre entier, tout nombre est somme de 4 cubes naturels. En revanche, l'ensemble des nombres somme de 3 cubes algébriques n'est pas N. Plus généralement, pour être certain qu'un nombre n suffisamment grand soit somme de puissances de m d'entiers, il faudra utiliser m+1 termes.
#12 - 04-06-2011 21:14:28
- ksavier
- Professionnel de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 166
Soomme de quelques cubes
Merci pour avoir cherché une peu (c'était un grande première pour moi).
En effet, un seul cube suffisait. Il suffisait comme je l'ai vu si souvent écrit, d'exploiter le fait que 2010 était un multiple de 3 : [latex]2010=3\times670[/latex]
Notons [latex]\alpha=2009^{2008^{...^{2^1}}}[/latex]
On a [TeX]2011^{2010^{2009^{...^{2^1}}}} = 2011^^{2010^\alpha}[/TeX] [TeX]=2011^{(3\times670)^\alpha}[/TeX] [TeX]=2011^{3^\alpha\times670^\alpha}[/TeX] [TeX]=2011^{3^{\alpha-1}\times670^\alpha\times3}[/TeX] [TeX]=(2011^{3^{\alpha-1}\times670^\alpha})^3[/TeX]

#13 - 06-06-2011 17:03:17
- MthS-MlndN
- Hors d'u-Sage
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 12,414E+3
- Lieu: Rouen
somle de quelques cubes
MthS-MlndN a écrit:[latex]2011^{2010^{...^{4^{3^{2^1}}}}} = \left( 2011^{2010^{...^{4^{3}}}} \right)^3[/latex]
Ca marche, non ? Et c'est sans doute plus simple a écrire...
Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
#14 - 06-06-2011 17:13:46
- irmo322
- Professionnel de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 36
- Messages : 203
sommr de quelques cubes
Mathias, en réalité: [TeX]\left( 2011^{2010^{{...}^{4^3}}} \right)^3= 2011^{3\cdot (2010^{{...}^{4^3}})}[/TeX]
#15 - 06-06-2011 17:21:33
- Yanyan
- Expert de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 29
- Messages : 509
- Lieu: Lille si j'y suis
Somme de queques cubes
Moi j'ai du mal avec ces empilements de puissances, en général on fait des puissances successivement, par exemple 2 puissance 3, le tout puissance 4, le tout puissance 5...
Un mathématicien complet est topologiquement fermé!
#16 - 06-06-2011 17:26:50
- MthS-MlndN
- Hors d'u-Sage
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 12,414E+3
- Lieu: Rouen
Somme de quuelques cubes
Bah j'ai du mal aussi, visiblement 
Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
Mots clés des moteurs de recherche
|
 |