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	Forum » Enigmes Mathématiques » Diagonale Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=MthS-MlndN]Première réponse : si [latex]a[/latex] et [latex]b[/latex] sont premiers entre eux, une diagonale ne passera pas par les coins de certains carrés intérieurs. Et comme elle partira d'une case d'un des coins du grand rectangle, et devra "voyager" de [latex]a-1[/latex] carrés unités dans une direction et [latex]b-1[/latex] dans une autre. La diagonale traversera donc [latex]a+b-1[/latex] carrés. Si [latex]a[/latex] et [latex]b[/latex] ne sont pas premiers, que se passe-t-il ? On prend le [latex]PGCD[/latex] de [latex]a[/latex] et [latex]b[/latex], qu'on va appeler [latex]p[/latex], et on peut diviser le rectangle en [latex]p^2[/latex] rectangles de dimensions [latex]a/p[/latex] et [latex]b/p[/latex], ces deux dimensions étant entières et premières entre elles. On se ramène au cas ci-dessus : la diagonale traversera de la même façon [latex]p[/latex] rectangles "diagonaux" de dimensions [latex]a/p[/latex] et [latex]b/p[/latex], chaque rectangle étant traversé en passant au travers de [latex]a/p+b/p-1[/latex] carrés unités. La multiplication par [latex]p[/latex] est laissée au soin du lecteur. On peut facilement généraliser pour parvenir au résultat suivant : [b]Une diagonale traversera [latex]a+b-PGCD(a,b)[/latex] carrés unités.[/b][/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez à la devinette suivante : Le père de toto a trois fils : Riri, Fifi et ? Retour Résumé de la discussion Yanyan 29-07-2011 18:19:17 Soit un rectangle de côtés entiers a et b. On divise ce rectangle en a.b carrés unités. Par combien de carrés unités passe une diagonale ? Le problème est sans doute déjà connu de certains mais si je peux le faire découvrir à d'autres... Bons dessins. Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
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