Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #1 - 29-07-2011 18:19:17

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Diagnoale

Soit un rectangle de côtés entiers a et b. On divise ce rectangle en a.b carrés unités.
Par combien de carrés unités passe une diagonale ?

Le problème est sans doute déjà connu de certains mais si je peux le faire découvrir à d'autres...

Bons dessins. smile



Annonces sponsorisées :

Un mathématicien complet est topologiquement fermé!
  • |
  • Répondre

#0 Pub

 #2 - 29-07-2011 19:54:30

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1932
Lieu: UK

Diagonal

soit k le pgcd de a et b
je définie m et n tels que  a=km et b=kn
m et n sont donc premiers entre eux

le nombre de carrés unites traversés par la diagonale est k(m+n-1)

http://www.prise2tete.fr/upload/franck9525-diagonale.jpg

Ce n'est qu'une intuition, il reste à le démontrer.  smile Peut être par récurrence ? roll

EDIT:
J'ai trouvé ceci sur le net qui répond au problème. Je m'en veux un peu sur ce coup là, j'aurais pu chercher d'avantage, la réponse est toute simple et j'avais fait le plus dur.


The proof of the pudding is in the eating.

 #3 - 29-07-2011 20:41:05

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3216

Diagonal

Un grand classique: a+b-pgcd(a,b).

 #4 - 30-07-2011 15:07:19

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

diahonale

je ne comprend pas en a.b carrés:
Tu peux développer s'il te plaît?


Un promath- actif dans un forum actif

 #5 - 30-07-2011 15:55:31

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Diagonnale

Première réponse : si [latex]a[/latex] et [latex]b[/latex] sont premiers entre eux, une diagonale ne passera pas par les coins de certains carrés intérieurs. Et comme elle partira d'une case d'un des coins du grand rectangle, et devra "voyager" de [latex]a-1[/latex] carrés unités dans une direction et [latex]b-1[/latex] dans une autre. La diagonale traversera donc [latex]a+b-1[/latex] carrés.

Si [latex]a[/latex] et [latex]b[/latex] ne sont pas premiers, que se passe-t-il ? On prend le [latex]PGCD[/latex] de [latex]a[/latex] et [latex]b[/latex], qu'on va appeler [latex]p[/latex], et on peut diviser le rectangle en [latex]p^2[/latex] rectangles de dimensions [latex]a/p[/latex] et [latex]b/p[/latex], ces deux dimensions étant entières et premières entre elles. On se ramène au cas ci-dessus : la diagonale traversera de la même façon [latex]p[/latex] rectangles "diagonaux" de dimensions [latex]a/p[/latex] et [latex]b/p[/latex], chaque rectangle étant traversé en passant au travers de [latex]a/p+b/p-1[/latex] carrés unités. La multiplication par [latex]p[/latex] est laissée au soin du lecteur.

On peut facilement généraliser pour parvenir au résultat suivant :

Une diagonale traversera [latex]a+b-PGCD(a,b)[/latex] carrés unités.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #6 - 30-07-2011 16:17:30

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

Diaggonale

Ça dépend, si a et b sont premiers entre eux.
J'espère ne pas dire une trop grosse bêtise big_smile


http://enigmusique.blogspot.com/

 #7 - 30-07-2011 19:06:28

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2844
Lieu: Luxembourg

DDiagonale

Bonjour,
Si a=b, alors la réponse triviale est N=a=b.
Si a et b sont premiers entre eux, on a N=a+b-1.
Si a et b ne sont pas premiers entre eux, soit m leur PGCD.
Dans ce cas, on a m² sous-figures et N=m(a/m+b/m-1)=a+b-m.
On s'apercoit que cette dernière formule marche dans tous les cas, puisque si a et b sont premiers entre eux, on a m=1 et si a=b, on a m=a=b: donc:
N=a+b-PGCD(a;b)
Bonne journée.
Frank

 #8 - 31-07-2011 18:35:14

Teijo
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3

Diagonal

1rectangle unité big_smile

 #9 - 01-08-2011 15:51:18

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Diaognale

Si a et b sont premiers entre eux:

La diagonale traverse toute la figure suivant les 2 axes perpendiculaires formés par les côtés du rectangle (de gauche à droite et de bas en haut pour faire plus simple).
Chaque fois qu'elle traverse une ligne elle traverse un nouveau carré.
Elle ne peut pas traverser 2 lignes simultanément car a et b sont premiers entre eux.
Elle traverse donc a-1 lignes dans une direction et b-1 lignes dans l'autre direction.
Il faut aussi compter le carré de départ avant qu'elle ne traverse la première ligne.
Elle traverse donc a-1+b-1+1=a+b-1 carrés.

Si a et b ne sont pas premiers entre eux, soit p leur PGCD:
a=pa' et b=pb' avec a' et b' premiers entre eux.
La diagonale trace la diagonale d'un carré a' par b' puis passe par une intersection puis elle trace la diagonale d'un carré indentique, ... p fois. Pour chacun de ces carrés elle passe par a'+b'-1 carrés et cela p fois.
Elle passe donc par p(a'+b'-1)=pa'+pb'-p=a+b-p carrés. Ce qui généralise le cas précédent.

La réponse est donc: a+b-PGCD(a,b)

Merci pour l'énigme. Je n'avais jamais démontré ce résultat.

 #10 - 01-08-2011 17:17:09

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

Diaonale

Pour commencer la diagonale ne peux pas passer par 4 carrés accolés les uns aux autres ayant en commun un sommet car la diagonale passerai au maximum par trois de ces carrés et non quatre puisque sinon ce serai le sommet.

Pour le reste du problème on considère [latex]a \ge b[/latex]

Deux possibilités :

* Si [latex]\frac{b}{a}=n, \text{ } n \in \mathbb{N}[/latex] alors la diagonales passe par [latex]a[/latex] petit carrés unité.
En effet si a/b=n alors la diagonale vaut : [latex]\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{n}[/latex] le morceau de diagonale passe donc par a/n carrés donc en multipliant par n....

* Si [latex]\frac{b}{a} \neq n[/latex] alors la diagonale passe par [latex]2a[/latex] petits carrés unité. Mais je n'ai pas encore de démonstration.

Shadock. smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #11 - 01-08-2011 20:23:33

jjsim
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 17
Messages : 2

Diiagonale

a

 

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez à la devinette suivante : 

Le père de toto a trois fils : Pif, Paf et ?

Sujets similaires

Mots clés des moteurs de recherche

Mot clé (occurences)
Avec 3 lignes droites traversant un rectangle peut-on creer? (6) — Enigme le rectangle et la diagonale (4) — Peux tu determiner en fonction de n et p le nombre dr carres que travers la diagonale (3) — Problemes avec pgcd (3) — Nombre de cases traversees par la diagonale d un rectangle (3) — Diagonale traverse carre (2) — Le diagonal de rectangle combien traverse (2) — Formule nombre de carres que traverse une diagonale (2) — Nombre de carres traverses (2) — Avec 3 lignes traversant un rectangle (2) — Reponse avec 3 lignes droites traversant en rectangle (2) — Nombre de cases traversee par la diagonale d un feuille (2) — Diagonale traverse pgcd (2) — Qu est qu une diagonale (2) — Pgcd et diagonale (1) — Combien de carres traverse und diagonale d un rectangle (1) — Regle pour rectangles sur le nb de carres traverses par la diagonale (1) — Nombre de carres traverse (1) — 3 lignes droites traversant un rectangle (1) — Probleme de math trouver le nombre de carreaux que coupe la diagonale dzns un rectangle (1) — Enigme ab a. p/100 (1) — Enigme mathematiques diagonale (1) — Rectangle traverse d une ligne (1) — Ppcm et le nombre de carres traverses dans un recangle grille (1) — Enigme rebu ab p/100 (1) — Peut on determiner en fonction de n et de p le nombre de carreaux que la diagonal traverse (1) — Ab ai p/100 (1) — Probleme math* carres passe diagonale (1) — Probleme de maths dans un rectanglecombien de carres traverse la diagonale (1) — Diagonale d un cube formule (1) — Par combien de carres passe la diagonale? (1) — Nombre de carre diagonale a+b-pgcd(ab (1) — Math nombre de carreau carre dans un rectangle (1) — Nombre de carreaux traverses par une diagonale (1) — Carres tracer une diagonale un carre restant (1) — Rectangle de carres (1) — Enigme rectangle diagonale (1) — Regle pour trouver le nombre de carreaux traverses dans un rectangle (1) — Formule pour trouver le nombre de carre traverse par la diagonal dans un recangle (1) — Combien de carres unites traverse la diagonale d un rectangle (1) — Rectangle diagonale pgcd (1) — Pgcd rectangle et carre solution (1) — Diagonale rectangle carres unites (1) — Nombre de caree passant par le diametre d un rectangle (1) — Diagonale d un rectangle pour les nuls (1) — Carres accoles (1) — Combien de carreau traverse par la diagonale (1) — La diagonale du rectangle carreaux (1) — Comment faire pour trouver le nombre de carreaux que le diagonale trqverse (1) — 3 ligne droite dans un rectangle reponse combien de possibilite (1) —

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete