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 #1 - 29-07-2011 18:19:17

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

iDagonale

Soit un rectangle de côtés entiers a et b. On divise ce rectangle en a.b carrés unités.
Par combien de carrés unités passe une diagonale ?

Le problème est sans doute déjà connu de certains mais si je peux le faire découvrir à d'autres...

Bons dessins. smile



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 #2 - 29-07-2011 19:54:30

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Diagonalee

soit k le pgcd de a et b
je définie m et n tels que  a=km et b=kn
m et n sont donc premiers entre eux

le nombre de carrés unites traversés par la diagonale est k(m+n-1)

http://www.prise2tete.fr/upload/franck9525-diagonale.jpg

Ce n'est qu'une intuition, il reste à le démontrer.  smile Peut être par récurrence ? roll

EDIT:
J'ai trouvé ceci sur le net qui répond au problème. Je m'en veux un peu sur ce coup là, j'aurais pu chercher d'avantage, la réponse est toute simple et j'avais fait le plus dur.


The proof of the pudding is in the eating.

 #3 - 29-07-2011 20:41:05

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

iDagonale

Un grand classique: a+b-pgcd(a,b).

 #4 - 30-07-2011 15:07:19

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

diafonale

je ne comprend pas en a.b carrés:
Tu peux développer s'il te plaît?


Un promath- actif dans un forum actif

 #5 - 30-07-2011 15:55:31

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Diagonal

Première réponse : si [latex]a[/latex] et [latex]b[/latex] sont premiers entre eux, une diagonale ne passera pas par les coins de certains carrés intérieurs. Et comme elle partira d'une case d'un des coins du grand rectangle, et devra "voyager" de [latex]a-1[/latex] carrés unités dans une direction et [latex]b-1[/latex] dans une autre. La diagonale traversera donc [latex]a+b-1[/latex] carrés.

Si [latex]a[/latex] et [latex]b[/latex] ne sont pas premiers, que se passe-t-il ? On prend le [latex]PGCD[/latex] de [latex]a[/latex] et [latex]b[/latex], qu'on va appeler [latex]p[/latex], et on peut diviser le rectangle en [latex]p^2[/latex] rectangles de dimensions [latex]a/p[/latex] et [latex]b/p[/latex], ces deux dimensions étant entières et premières entre elles. On se ramène au cas ci-dessus : la diagonale traversera de la même façon [latex]p[/latex] rectangles "diagonaux" de dimensions [latex]a/p[/latex] et [latex]b/p[/latex], chaque rectangle étant traversé en passant au travers de [latex]a/p+b/p-1[/latex] carrés unités. La multiplication par [latex]p[/latex] est laissée au soin du lecteur.

On peut facilement généraliser pour parvenir au résultat suivant :

Une diagonale traversera [latex]a+b-PGCD(a,b)[/latex] carrés unités.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #6 - 30-07-2011 16:17:30

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

Diagonlae

Ça dépend, si a et b sont premiers entre eux.
J'espère ne pas dire une trop grosse bêtise big_smile


http://enigmusique.blogspot.com/

 #7 - 30-07-2011 19:06:28

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2705
Lieu: Luxembourg

Diagonae

Bonjour,
Si a=b, alors la réponse triviale est N=a=b.
Si a et b sont premiers entre eux, on a N=a+b-1.
Si a et b ne sont pas premiers entre eux, soit m leur PGCD.
Dans ce cas, on a m² sous-figures et N=m(a/m+b/m-1)=a+b-m.
On s'apercoit que cette dernière formule marche dans tous les cas, puisque si a et b sont premiers entre eux, on a m=1 et si a=b, on a m=a=b: donc:
N=a+b-PGCD(a;b)
Bonne journée.
Frank

 #8 - 31-07-2011 18:35:14

Teijo
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3

fiagonale

1rectangle unité big_smile

 #9 - 01-08-2011 15:51:18

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Diagonnale

Si a et b sont premiers entre eux:

La diagonale traverse toute la figure suivant les 2 axes perpendiculaires formés par les côtés du rectangle (de gauche à droite et de bas en haut pour faire plus simple).
Chaque fois qu'elle traverse une ligne elle traverse un nouveau carré.
Elle ne peut pas traverser 2 lignes simultanément car a et b sont premiers entre eux.
Elle traverse donc a-1 lignes dans une direction et b-1 lignes dans l'autre direction.
Il faut aussi compter le carré de départ avant qu'elle ne traverse la première ligne.
Elle traverse donc a-1+b-1+1=a+b-1 carrés.

Si a et b ne sont pas premiers entre eux, soit p leur PGCD:
a=pa' et b=pb' avec a' et b' premiers entre eux.
La diagonale trace la diagonale d'un carré a' par b' puis passe par une intersection puis elle trace la diagonale d'un carré indentique, ... p fois. Pour chacun de ces carrés elle passe par a'+b'-1 carrés et cela p fois.
Elle passe donc par p(a'+b'-1)=pa'+pb'-p=a+b-p carrés. Ce qui généralise le cas précédent.

La réponse est donc: a+b-PGCD(a,b)

Merci pour l'énigme. Je n'avais jamais démontré ce résultat.

 #10 - 01-08-2011 17:17:09

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3309

Diaggonale

Pour commencer la diagonale ne peux pas passer par 4 carrés accolés les uns aux autres ayant en commun un sommet car la diagonale passerai au maximum par trois de ces carrés et non quatre puisque sinon ce serai le sommet.

Pour le reste du problème on considère [latex]a \ge b[/latex]

Deux possibilités :

* Si [latex]\frac{b}{a}=n, \text{ } n \in \mathbb{N}[/latex] alors la diagonales passe par [latex]a[/latex] petit carrés unité.
En effet si a/b=n alors la diagonale vaut : [latex]\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{n}[/latex] le morceau de diagonale passe donc par a/n carrés donc en multipliant par n....

* Si [latex]\frac{b}{a} \neq n[/latex] alors la diagonale passe par [latex]2a[/latex] petits carrés unité. Mais je n'ai pas encore de démonstration.

Shadock. smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #11 - 01-08-2011 20:23:33

jjsim
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 17
Messages : 1

Diaognale

a

 

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