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OK, je m'étais juste planté de puissance
J'explique un peu: P_k(n) est le polynôme de degré k+1 qui donne la somme des n premières puissances k-ième
ça me rassure, mais moi je ne vais même pas essayer de le relire, je n'ai rien compris à la réponse
Je croyais que tu parlais de ça quand tu donnais ton 1/2...
Question subsidiaire vachement plus facile
D'accord avec Yanyan sur ce coup là (sorry Mathias) ∫i+1ixk.dx=(i+1)k+1−ik+1k+1=ik+... (on ne garde pour l'instant que le terme de degré k) Du coup (n+1)k+1k+1=n∑i=0ik+...=n∑i=0ik+n∑i=0... Si on admet que ∑ni=0ik est un polynôme de degré k+1, alors le coefficient du monôme de degré k+1 est 1k+1 par identification. Ok, ça n'était pas la question, mais c'est un résultat préliminaire. On recommence tout pareil, mais en détaillant un peu plus les '...' ∫i+1ixk.dx=(i+1)k+1−ik+1k+1=ik+k2ik−1+... (inutile de considérer les monômes de degré inférieur à k-1, leur somme donnera un polynôme de degré k-1 au plus) Du coup (n+1)k+1k+1=n∑i=0ik+k2n∑i=0ik−1+n∑i=0... On refait une identification des coeffs pour le monôme de degré k cette fois. Ca nous donne: nk=X.nk+k2.1knk où X est le coefficient dans le polynôme de ∑ni=0ik. Pour le polynôme de ∑ni=0ik−1, on a déjà vu que le coefficient du monôme de degré k est 1/k (cf. le résultat préliminaire). De là, il ressort que X=1/2, CQFD
Mathias je suis presque certain du coefficient.
Le coefficient de nk n'est pas toujours 12.
Un sujet que j'apprécie particulièrement : P(n)=∑ni=0ik. |
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