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 #1 - 10-08-2011 19:36:01

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Somme des puuissances k-ième

Un sujet que j'apprécie particulièrement : [latex]P(n)=\sum_{i=0}^{n}i^k[/latex].
Je voulais proposer en énigme la fait suivant : le coefficient de [latex]n^k[/latex] est [latex]\frac{1}{2}[/latex] indépendamment de k>0 entier.

J'ai confectionné une preuve à partir d'intégrales.(un problème est apparu sad)
Je vous demande si vous avez des idées ou des connaissances à ce sujet.



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#0 Pub

 #2 - 11-08-2011 22:43:59

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Somme des puissance sk-ième

Le coefficient de [latex]n^k[/latex] n'est pas toujours [latex]\frac{1}{2}[/latex].

Wikipedia propose une démonstration par récurrence, en utilisant une égalité somme/intégrale :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Somme_(ari … .27entiers


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #3 - 12-08-2011 07:04:10

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Somme des puissance sk-ième

Mathias je suis presque certain du coefficient.


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #4 - 12-08-2011 10:03:14

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1433

Somme ddes puissances k-ième

D'accord avec Yanyan sur ce coup là (sorry Mathias)


Preuve: On commence par remarquer que
[TeX]\int_0^{n+1}{x^k.dx}=\frac{(n+1)^{k+1}}{k+1}[/latex], mais aussi
[latex]\int_0^{n+1}{x^k.dx}=\sum_{i=0}^n{\int_i^{i+1}{x^k.dx}}[/TeX][TeX]\int_i^{i+1}{x^k.dx} = \frac{(i+1)^{k+1}-i^{k+1}}{k+1} = i^k+...[/TeX]
(on ne garde pour l'instant que le terme de degré k)
Du coup
[TeX]\frac{(n+1)^{k+1}}{k+1} = \sum_{i=0}^n{i^k+...}= \sum_{i=0}^n{i^k}+\sum_{i=0}^n{...}[/TeX]
Si on admet que [latex]\sum_{i=0}^n{i^k}[/latex] est un polynôme de degré k+1, alors le coefficient du monôme de degré k+1 est [latex]\frac{1}{k+1}[/latex] par identification.
Ok, ça n'était pas la question, mais c'est un résultat préliminaire.

On recommence tout pareil, mais en détaillant un peu plus les '...'
[TeX]\int_i^{i+1}{x^k.dx} = \frac{(i+1)^{k+1}-i^{k+1}}{k+1} = i^k+\frac{k}{2}i^{k-1}+...[/TeX]
(inutile de considérer les monômes de degré inférieur à k-1, leur somme donnera un polynôme de degré k-1 au plus)



Du coup
[TeX]\frac{(n+1)^{k+1}}{k+1} = \sum_{i=0}^n{i^k}+\frac{k}{2} \sum_{i=0}^n{i^{k-1}}+\sum_{i=0}^n{...}[/TeX]
On refait une identification des coeffs pour le monôme de degré k cette fois. Ca nous donne:
[TeX]n^k = X.n^k + \frac{k}{2}.\frac{1}{k}n^k[/TeX]
où X est le coefficient dans le polynôme de [latex]\sum_{i=0}^n{i^k}[/latex].
Pour le polynôme de [latex]\sum_{i=0}^n{i^{k-1}}[/latex], on a déjà vu que le coefficient du monôme de degré k est 1/k (cf. le résultat préliminaire).

De là, il ressort que X=1/2, CQFD

 #5 - 12-08-2011 10:05:24

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1433

Somme de puissances k-ième

Question subsidiaire vachement plus facile smile
Montrer que la somme des coefficients de ce polynôme vaut 1

 #6 - 12-08-2011 11:40:41

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Somme des ppuissances k-ième

cool il suffit de considerer P(1)...


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #7 - 12-08-2011 11:46:02

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Sommme des puissances k-ième

on a déjà vu que le coefficient du monôme de degré k est 1/k

Je croyais que tu parlais de ça quand tu donnais ton 1/2...

Du coup, je vais relire ce topic a tête reposée, car je ne comprends toujours pas la question hmm


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #8 - 12-08-2011 11:48:28

emmaenne
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 3058
Lieu: Au sud du Nord

Somme des puissancees k-ième

Du coup, je vais relire ce topic a tête reposée, car je ne comprends toujours pas la question

ça me rassure, mais moi je ne vais même pas essayer de le relire, je n'ai rien compris à la réponse roll


Dans le cadre de la quinzaine du beau langage, ne disez pas disez, disez dites. (Julos Beaucarne)

 #9 - 12-08-2011 11:57:46

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1433

Somme des puissances kk-ième

J'explique un peu: P_k(n) est le polynôme de degré k+1 qui donne la somme des n premières puissances k-ième

1) Dans un premier temps, je montre que le coefficient du monôme de plus haut degré de P_k(n) est 1/(k+1)
2) Puis je montre que le monôme de degré k-1 a un coefficient X qui vérifie l'égalité 1 = X + k/2 * Y, où Y est le monôme de degré k dans P_k-1(n). D'après le point 1, Y vaut 1/k (puisqu'il s'agit de la somme k-moins-unième), et du coup 1=X+1/2

 #10 - 12-08-2011 15:02:58

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Somme des puissances k-ièmee

OK, je m'étais juste planté de puissance hmm


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