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	Forum » Blabla » Une équation avec fraction continue. Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=SHTF47]La suite de Fibonacci étant linéaire et récurrente d'ordre 2, son équation caractéristique est : x^2 - x - 1 = 0 Bah il est là le nombre d'or... Source : [url]fr.m.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Fibonacci[/url][/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : Un berger a 20 moutons, ils meurent tous sauf 12, combien en reste-t-il ? Retour Résumé de la discussion Azdod 12-03-2012 21:28:03 Mathias est trop fort shadock 12-03-2012 21:02:03 Mathias, tu me fais rêver là, avec tout ces petits indices.... Klimrod 12-03-2012 18:16:46 Yeaaaaaah \o/ MthS-MlndN 12-03-2012 18:11:32 Klimrod a écrit: Si tu considères l'équation X = l'une de tes fractions, alors elle se réduit à X^2 = X + 1 Par exemple X = (5X+3)/(3X+2) => X(3X+2) = 5X+3 => 3X^2 + 2x = 5X + 3 => 3X^2 = 3X + 3 D'où le nombre d'or comme solution systématique, quel que soit le nombre de termes dans la fraction ! OK, voici donc le rapport que je cherchais, et à côté duquel SHTF est passé En appelant [latex]\phi_i[/latex] les termes de la suite de Fibonacci : [TeX]\frac{\phi_{i+2} X + \phi_{i+1}}{\phi_{i+1} X + \phi_i} = X[/TeX] [TeX]\Leftrightarrow \frac{(\phi_{i+1} + \phi_i) X + \phi_{i+1}}{\phi_{i+1} X + \phi_i} = X[/TeX] [TeX]\Leftrightarrow (\phi_{i+1} + \phi_i) X + \phi_{i+1} = (\phi_{i+1} X + \phi_i) X[/TeX] [TeX]\Leftrightarrow (\phi_{i+1} + \phi_i) X + \phi_{i+1} = \phi_{i+1} X² + \phi_i X[/TeX] [TeX]\Leftrightarrow \phi_{i+1} X + \phi_{i+1} = \phi_{i+1} X²[/TeX] [TeX]\Leftrightarrow X+1=X²[/TeX] Yeaaaaaah \o/ shadock 12-03-2012 17:28:34 J'ai trouvé avec la méthode bourrin de SHTF les mêmes termes que Mathias. Merci pour la solution Donc l'équation n'a que deux solutions. Et Mathias quand tu dis [latex]\frac{3X+2}{2X+1}[/latex]... en quoi on voit que c'est un terme de Fibonacci ? Non c'est bon j'ai rien dis.... Shadock Klimrod 12-03-2012 13:18:07 MthS-MlndN a écrit: Perso, je suis pas d'accord avec Klim. Voilà. Parce qu'avec la méthode de SHTF, on a du joli Fibonacci qui intervient. Au fur et à mesure du développement, tu obtiens [latex]\frac{X+1}{X}[/latex], [latex]\frac{2X+1}{X+1}[/latex], [latex]\frac{3X+2}{2X+1}[/latex], [latex]\frac{5X+3}{3X+2}[/latex]... Mathias : En fait, on avait tous les deux raison depuis le début ! Si tu considères l'équation X = l'une de tes fractions, alors elle se réduit à X^2 = X + 1 Par exemple X = (5X+3)/(3X+2) => X(3X+2) = 5X+3 => 3X^2 + 2x = 5X + 3 => 3X^2 = 3X + 3 D'où le nombre d'or comme solution systématique, quel que soit le nombre de termes dans la fraction ! Amusant ! Klim. SHTF47 12-03-2012 13:12:34 La suite de Fibonacci étant linéaire et récurrente d'ordre 2, son équation caractéristique est : x^2 - x - 1 = 0 Bah il est là le nombre d'or... Source : fr.m.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Fibonacci MthS-MlndN 12-03-2012 12:55:12 Ah oui, si, tiens... Mea culpa. Dans la série des certitudes débiles Donc, même si je prends [latex]X = 1 + \frac{1}{X}[/latex], je peux remplacer le [latex]X[/latex] d'en bas par sa valeur fractionnaire et itérer à l'infini ? Wouoh. C'est dingue. Du coup, la solution est celle de l'équation ci-dessus, qui peut s'écrire [latex]X^2 = X+1[/latex] et voici notre nombre d'or. Mais, excusez-moi de creuser un peu, j'ai fait le lien naïf avec la suite de Fibonacci quelques posts plus haut, et le rapport entre deux termes successifs de cette suite tend vers le nombre d'or... Pensez-vous qu'il peut y avoir un lien mathématique entre les deux ? Klimrod 12-03-2012 12:16:24 Mathias : Si ! Tu peux mettre un point de suspension en remplaçant le X final (tout en bas de la fraction) par l'ensemble de la fraction (puisqu'elle est égale à X), et ainsi de suite.... C'est le deuxième raisonnement que j'avais fait.... Mais le raisonnement est faux et je ne sais pas pourquoi.... MthS-MlndN 12-03-2012 12:04:44 Il n'y a de points de suspension nulle part dans l'équation donnée, donc le nombre d'or n'est pas la solution mais une approximation de la solution. Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
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