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 #1 - 11-03-2012 15:35:16

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3314

Une équation avec frction continue.

Désolé pour l'image un peu grande.
Je ne trouve plus le site des olympiades de mathématique sur lequel je l'avais trouvé.
Je ne pense pas qu'elle est un grand mérite à être dans la rubrique maths. Je n'ai jamais trouvé la réponse.
Si ça vous tente...smile

http://www.prise2tete.fr/upload/shadock-Equation-tordue.PNG

Shadock



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"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
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 #2 - 11-03-2012 15:39:50

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3766
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

Une équation avec rfaction continue.

Après simplification, ça fait X = 1 + 1/X, non ?


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #3 - 11-03-2012 15:54:22

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3314

Une équation avec fraction contnue.

Ca se simplifie comment un monstre pareil ?
Et accessoirement on fait comment les fractions continues sur Wolfram[latex]\alpha[/latex] ?


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #4 - 11-03-2012 16:09:51

SHTF47
Imprnnçbl de Prs2Tt
Enigmes résolues : 39
Messages : 1629
Lieu: Autre nom du colin

une équation avec feaction continue.

Bah, commence par tout en bas, puis remonte, et regarde si quelquechose de remarquable (à part le fait que ça va te gonfler) se passe...


La musique est une mathématique sonore, la mathématique une musique silencieuse. [Edouard HERRIOT]

 #5 - 12-03-2012 09:54:08

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

une équation avec fraction conrinue.

Perso, je suis pas d'accord avec Klim. Voilà. Parce qu'avec la méthode de SHTF, on a du joli Fibonacci qui intervient. Au fur et à mesure du développement, tu obtiens [latex]\frac{X+1}{X}[/latex], [latex]\frac{2X+1}{X+1}[/latex], [latex]\frac{3X+2}{2X+1}[/latex], [latex]\frac{5X+3}{3X+2}[/latex]...


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #6 - 12-03-2012 10:17:39

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3766
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

Une équation ave fraction continue.

Mathias, tu as sans doute raison...
J'ai fait deux raisonnements différents, tous les deux très superficiels et très probablement faux.

1) en supposant que la solution obéit à l'équation X=1+1/X : on remplace tout en bas des fractions 1+1/X par X, et ainsi de suite en remontant la fraction... et on aoutit à X=1+1/X, ce qui tendrait à prouver que notre hypothèse n'admet pas de contradiction. Mais ce n'est pas forcément la seule solution.
Et en plus je reconnais que c'est un peu bizarre comme raisonnement (poser une hypothèse et montrer que cette hypothèse n'est pas contredite)

2) en procédant à l'inverse de ci-dessus : on remplace le dernier X tout en bas de la fraction par la valeur complète de X donnée par la fraction, et ainsi de suite....
Si on appelle F la fonction qui à X associe F(X)=1+1/X, alors X est solution de :
X=lim FoFoFoFo....oF(X) dans laquelle o est l'opérateur "rond" FoF(X) = F(F(X))
Et il me semble bien que cette suite converge vers X=1+1/X
Mais là encore, je reconnais que c'est très superficiel...

Voilà comment on arrive à construire deux raisonnements faux pour trouver une solution erronée dont on est persuadé de la justesse... roll
Klim.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #7 - 12-03-2012 10:45:14

SHTF47
Imprnnçbl de Prs2Tt
Enigmes résolues : 39
Messages : 1629
Lieu: Autre nom du colin

Une équatio navec fraction continue.

J'avais suggéré d'être bourrin, juste comme ça, pour voir si des gens allaient s'y coller... big_smile Merci d'avoir essayé pour moi.

A priori, ça marche, il ne reste plus qu'à généraliser la méthode pour n "étages", et appliquer pour le nombre d'étages de l'énoncé.

Shadock ??? T'es là ??? Allez, à ton tour maintenant !!! Après tout, c'est TON post... roll


La musique est une mathématique sonore, la mathématique une musique silencieuse. [Edouard HERRIOT]

 #8 - 12-03-2012 12:03:08

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Luxembourg

une équation avec fraction continye.

Bonjour,
Soit u(n) la suite telle que: u(n) = 1 + 1/u(n-1)
On montre facilement que cette suite converge vers le
nombre d'or qui est: (1+V5)/2
Et donc le nombre d'or est aussi solution de l'équation.
Bonne journée.

 #9 - 12-03-2012 12:04:44

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

une équayion avec fraction continue.

Il n'y a de points de suspension nulle part dans l'équation donnée, donc le nombre d'or n'est pas la solution mais une approximation de la solution.


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 #10 - 12-03-2012 12:16:24

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
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Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

Une équation vec fraction continue.

Mathias : Si ! Tu peux mettre un point de suspension en remplaçant le X final (tout en bas de la fraction) par l'ensemble de la fraction (puisqu'elle est égale à X), et ainsi de suite....
C'est le deuxième raisonnement que j'avais fait....

Mais le raisonnement est faux et je ne sais pas pourquoi....


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #11 - 12-03-2012 12:55:12

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

Unee équation avec fraction continue.

Ah oui, si, tiens... Mea culpa. Dans la série des certitudes débiles lol

Donc, même si je prends [latex]X = 1 + \frac{1}{X}[/latex], je peux remplacer le [latex]X[/latex] d'en bas par sa valeur fractionnaire et itérer à l'infini ? Wouoh. C'est dingue. Du coup, la solution est celle de l'équation ci-dessus, qui peut s'écrire [latex]X^2 = X+1[/latex] et voici notre nombre d'or.

Mais, excusez-moi de creuser un peu, j'ai fait le lien naïf avec la suite de Fibonacci quelques posts plus haut, et le rapport entre deux termes successifs de cette suite tend vers le nombre d'or... Pensez-vous qu'il peut y avoir un lien mathématique entre les deux ?


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 #12 - 12-03-2012 13:12:34

SHTF47
Imprnnçbl de Prs2Tt
Enigmes résolues : 39
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Lieu: Autre nom du colin

ine équation avec fraction continue.

La suite de Fibonacci étant linéaire et récurrente d'ordre 2, son équation caractéristique est : x^2 - x - 1 = 0

Bah il est là le nombre d'or...

Source : fr.m.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Fibonacci


La musique est une mathématique sonore, la mathématique une musique silencieuse. [Edouard HERRIOT]

 #13 - 12-03-2012 13:18:07

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3766
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

une équation avrc fraction continue.

MthS-MlndN a écrit:

Perso, je suis pas d'accord avec Klim. Voilà. Parce qu'avec la méthode de SHTF, on a du joli Fibonacci qui intervient. Au fur et à mesure du développement, tu obtiens [latex]\frac{X+1}{X}[/latex], [latex]\frac{2X+1}{X+1}[/latex], [latex]\frac{3X+2}{2X+1}[/latex], [latex]\frac{5X+3}{3X+2}[/latex]...

Mathias : En fait, on avait tous les deux raison depuis le début !
Si tu considères l'équation X = l'une de tes fractions,
alors elle se réduit à X^2 = X + 1

Par exemple X = (5X+3)/(3X+2)
=> X(3X+2) = 5X+3 => 3X^2 + 2x = 5X + 3 => 3X^2 = 3X + 3

D'où le nombre d'or comme solution systématique, quel que soit le nombre de termes dans la fraction !
Amusant !
Klim.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #14 - 12-03-2012 17:28:34

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3314

une équztion avec fraction continue.

J'ai trouvé avec la méthode bourrin de SHTF les mêmes termes que Mathias.
Merci pour la solution big_smile

Donc l'équation n'a que deux solutions.

Et Mathias quand tu dis [latex]\frac{3X+2}{2X+1}[/latex]... en quoi on voit que c'est un terme de Fibonacci ?

Non c'est bon j'ai rien dis....cool

Shadock


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #15 - 12-03-2012 18:11:32

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Une équation avec fractionn continue.

Klimrod a écrit:

Si tu considères l'équation X = l'une de tes fractions,
alors elle se réduit à X^2 = X + 1

Par exemple X = (5X+3)/(3X+2)
=> X(3X+2) = 5X+3 => 3X^2 + 2x = 5X + 3 => 3X^2 = 3X + 3

D'où le nombre d'or comme solution systématique, quel que soit le nombre de termes dans la fraction !

OK, voici donc le rapport que je cherchais, et à côté duquel SHTF est passé big_smile

En appelant [latex]\phi_i[/latex] les termes de la suite de Fibonacci :
[TeX]\frac{\phi_{i+2} X + \phi_{i+1}}{\phi_{i+1} X + \phi_i} = X[/TeX]
[TeX]\Leftrightarrow \frac{(\phi_{i+1} + \phi_i) X + \phi_{i+1}}{\phi_{i+1} X + \phi_i} = X[/TeX]
[TeX]\Leftrightarrow (\phi_{i+1} + \phi_i) X + \phi_{i+1} = (\phi_{i+1} X + \phi_i) X[/TeX]
[TeX]\Leftrightarrow (\phi_{i+1} + \phi_i) X + \phi_{i+1} = \phi_{i+1} X² + \phi_i X[/TeX]
[TeX]\Leftrightarrow \phi_{i+1} X + \phi_{i+1} = \phi_{i+1} X²[/TeX]
[TeX]\Leftrightarrow X+1=X²[/TeX]
Yeaaaaaah \o/


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 #16 - 12-03-2012 18:16:46

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3766
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

Une équation avec fraction ocntinue.

Yeaaaaaah \o/

wink


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #17 - 12-03-2012 21:02:03

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3314

Une équation aec fraction continue.

Mathias, tu me fais rêver là, avec tout ces petits indices.... big_smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #18 - 12-03-2012 21:28:03

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

Une équation avec faction continue.

Mathias est trop fort lol


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"
 

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