Mathias, tu me fais rêver là, avec tout ces petits indices....

Klimrod a écrit:

Si tu considères l'équation X = l'une de tes fractions,
alors elle se réduit à X^2 = X + 1

Par exemple X = (5X+3)/(3X+2)
=> X(3X+2) = 5X+3 => 3X^2 + 2x = 5X + 3 => 3X^2 = 3X + 3

D'où le nombre d'or comme solution systématique, quel que soit le nombre de termes dans la fraction !

OK, voici donc le rapport que je cherchais, et à côté duquel SHTF est passé

En appelant [latex]\phi_i[/latex] les termes de la suite de Fibonacci :
[TeX]\frac{\phi_{i+2} X + \phi_{i+1}}{\phi_{i+1} X + \phi_i} = X[/TeX]
[TeX]\Leftrightarrow \frac{(\phi_{i+1} + \phi_i) X + \phi_{i+1}}{\phi_{i+1} X + \phi_i} = X[/TeX]
[TeX]\Leftrightarrow (\phi_{i+1} + \phi_i) X + \phi_{i+1} = (\phi_{i+1} X + \phi_i) X[/TeX]
[TeX]\Leftrightarrow (\phi_{i+1} + \phi_i) X + \phi_{i+1} = \phi_{i+1} X² + \phi_i X[/TeX]
[TeX]\Leftrightarrow \phi_{i+1} X + \phi_{i+1} = \phi_{i+1} X²[/TeX]
[TeX]\Leftrightarrow X+1=X²[/TeX]
Yeaaaaaah \o/

MthS-MlndN a écrit:

Perso, je suis pas d'accord avec Klim. Voilà. Parce qu'avec la méthode de SHTF, on a du joli Fibonacci qui intervient. Au fur et à mesure du développement, tu obtiens [latex]\frac{X+1}{X}[/latex], [latex]\frac{2X+1}{X+1}[/latex], [latex]\frac{3X+2}{2X+1}[/latex], [latex]\frac{5X+3}{3X+2}[/latex]...

Mathias : En fait, on avait tous les deux raison depuis le début !
Si tu considères l'équation X = l'une de tes fractions,
alors elle se réduit à X^2 = X + 1

Par exemple X = (5X+3)/(3X+2)
=> X(3X+2) = 5X+3 => 3X^2 + 2x = 5X + 3 => 3X^2 = 3X + 3

D'où le nombre d'or comme solution systématique, quel que soit le nombre de termes dans la fraction !
Amusant !
Klim.

Ah oui, si, tiens... Mea culpa. Dans la série des certitudes débiles

Donc, même si je prends [latex]X = 1 + \frac{1}{X}[/latex], je peux remplacer le [latex]X[/latex] d'en bas par sa valeur fractionnaire et itérer à l'infini ? Wouoh. C'est dingue. Du coup, la solution est celle de l'équation ci-dessus, qui peut s'écrire [latex]X^2 = X+1[/latex] et voici notre nombre d'or.

Mais, excusez-moi de creuser un peu, j'ai fait le lien naïf avec la suite de Fibonacci quelques posts plus haut, et le rapport entre deux termes successifs de cette suite tend vers le nombre d'or... Pensez-vous qu'il peut y avoir un lien mathématique entre les deux ?

Il n'y a de points de suspension nulle part dans l'équation donnée, donc le nombre d'or n'est pas la solution mais une approximation de la solution.