Écrire une réponse @ Prise2Tete

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.	Déconnexion
Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier. Accueil Forum	[+]

	Forum » Enigmes Mathématiques » Partitions d'un entier Écrire une réponse Attention : Aucun indice ou demande d'aide concernant les énigmes de Prise2Tete n'est accepté sur le forum ! Rends-toi sur le cercle des sages si tu as besoin d'aide ! Tout nouveau message ou sujet ne respectant pas cette règle sera supprimé, merci. Rédige ton message Nom Courriel \| \| \| \| Upload \| Aide Message [quote=Spirou]Merci pour ce problème très intéressant, les partitions d'entiers ont des propriétés bien mystérieuses! :D Notons: [latex]u_k[/latex] le nombre de '1' dans les partitions de k (u pour 'un'), [latex]p_k[/latex] le nombre de partitions de k, [latex]d_k[/latex] le nombre de chiffres distincts comptés dans les partitions de k (d pour 'distinct'). Comme l'a souligné [b]@gwen27[/b], [latex]u_{k+1} = u_k + p_k[/latex]. En effet, on ajoute un 1 à chaque partition de [latex]k[/latex], ce qui nous donne les partitions de [latex]k+1[/latex] ayant un 1. Le nombre total de 1 est donc celui de [latex]k[/latex], ajouté au nombre de partitions. Il suffit donc de montrer que [latex]d_{k+1} = p_0 + p_1 + p_2 + \cdots + p_k[/latex]. Pour cela, nous associons à chaque chiffre [latex]l[/latex] apparaissant dans une partition de [latex]k+1[/latex] la partition de [latex]k-l[/latex] obtenue en retirant [latex]l[/latex] de la partition. Par exemple, la partition 6=1+2+3 contient trois chiffres distincts. A chaque chiffre, on associe respectivement les partitions de 5, 4, et 3 suivantes: 5 = 2+3 4 = 1+3 3 = 1+2 En conclusion, pour chaque chiffre distinct d'une partition de [latex]k+1[/latex], on associe une partition d'un entier plus petit, et on a donc l'égalité souhaitée. ------------------ Plus formellement, si on note [latex]P_k[/latex] l'ensemble des partitions de [latex]k[/latex], et [latex]P'_k[/latex] les partitions pointées de [latex]k[/latex] i.e [latex]P'_k = \{ (i, a_1, a_2, \cdots, a_k) \Big\| \sum_{j = 1}^k ja_j = k, a_i \neq 0\}[/latex], alors nous construisons la bijection suivante: [latex]\begin{array}{ccc} P'_{k+1} & \longrightarrow & \cup_{l \leqslant k} P_l \\ (i, a_1, \dots, a_{k+1}) & \mapsto & (a_1, \dots, a_i-1, \dots, a_{k+1}) \end{array}[/latex].[/quote] Options Ne pas convertir les émoticônes sur ce message Sécurité Répondez à la devinette suivante : Le père de toto a trois fils : Riri, Fifi et ? Retour Résumé de la discussion nodgim 22-06-2025 21:02:34 Bonjour @ tous. Les partitions de 5 par exemple sont : 1+1+1+1+1 1+1+1+2 1+2+2 1+1+3 2+3 1+4 5 Si l'on compte les 1 de toutes les partitions, on en trouve 12 Si l'on compte les chiffres distincts à chaque partition et que l'on cumule on en trouve 12 également. (1 chiffre pour la 1ère, 2 pour la 2ème, 2 pour la 3ème, 2 pour la 4ème, 2 pour la 5ème, 2 pour la 6ème et 1 pour la 7ème). Est ce un coup de chance pour 5, ou pour d'autres, ou est ce général pour tout entier ? Pied de page des forums P2T basé sur PunBB Screenshots par Robothumb © Copyright 2002–2005 Rickard Andersson
Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact