C'est la suite https://oeis.org/A000070 et même si je n'y trouve pas de démonstration, une récurrence devrait permettre de s'en sortir.

Genre :
on rajoute +1 dans chaque partition.
donc on rajoute autant de 1 que le nombre de partitions précédent + le nombre décomposé en unaire.

Pour les chiffres différents, c'est un peu plus compliqué...
Il faut raisonner sur les sets de nombres. Je ne trouve pas d'explication simple, et les explications compliquées laissent toujours un cas particulier.

Merci pour ce problème très intéressant, les partitions d'entiers ont des propriétés bien mystérieuses!

Notons:
$u_k$ le nombre de '1' dans les partitions de k (u pour 'un'),
$p_k$ le nombre de partitions de k,
$d_k$ le nombre de chiffres distincts comptés dans les partitions de k (d pour 'distinct').

Comme l'a souligné @gwen27, $u_{k+1} = u_k + p_k$. En effet, on ajoute un 1 à chaque partition de $k$, ce qui nous donne les partitions de $k+1$ ayant un 1. Le nombre total de 1 est donc celui de $k$, ajouté au nombre de partitions.

Il suffit donc de montrer que $d_{k+1} = p_0 + p_1 + p_2 + \cdots + p_k$.

Pour cela, nous associons à chaque chiffre $l$ apparaissant dans une partition de $k+1$ la partition de $k-l$ obtenue en retirant $l$ de la partition. Par exemple, la partition 6=1+2+3 contient trois chiffres distincts. A chaque chiffre, on associe respectivement les partitions de 5, 4, et 3 suivantes:

5 = 2+3
4 = 1+3
3 = 1+2

En conclusion, pour chaque chiffre distinct d'une partition de $k+1$, on associe une partition d'un entier plus petit, et on a donc l'égalité souhaitée.

------------------

Plus formellement, si on note $P_k$ l'ensemble des partitions de $k$, et $P'_k$ les partitions pointées de $k$ i.e
$P'_k = \{ (i, a_1, a_2, \cdots, a_k) \Big| \sum_{j = 1}^k ja_j = k, a_i \neq 0\}$,
alors nous construisons la bijection suivante:
$\begin{array}{ccc} P'_{k+1} & \longrightarrow & \cup_{l \leqslant k} P_l \\ (i, a_1, \dots, a_{k+1}) & \mapsto & (a_1, \dots, a_i-1, \dots, a_{k+1}) \end{array}$.

On a montré que $u_{k+1} = u_k + p_k$, et on sait que $u_1 = 1 = p_0$. (Par convention 0 a une unique partition: la partition vide).

Donc on a immédiatement $u_{k+1} = p_k + p_{k-1} + \cdots + p_1 + p_0$.

Le but est donc de montrer qu'on a la même chose pour $d_{k+1}$.