Voici une énigme qui fera plaisir aux géomètres parmi vous. Elle n'est pas de moi : je vous donnerai le lien en guise de réponse

1) On trace, dans un cercle de rayon 1, [latex]n[/latex] cercles de même rayon [latex]r_n[/latex], tangents au "grand cercle", et chacun d'eux tangent à ses deux voisins. Comment exprimer [latex]r_n[/latex], et vers quoi tend [latex]n r_n[/latex] quand n tend vers l'infini ?

2) On trace, à l'extérieur d'un cercle de rayon 1, [latex]n[/latex] cercles de même rayon [latex]r_n[/latex], tangents au "grand cercle", et chacun d'eux tangent à ses deux voisins. Comment exprimer [latex]r_n[/latex], et vers quoi tend [latex]n r_n[/latex] quand n tend vers l'infini ?

Je mets les figures d'illustration (pour n=7) en spoiler, car elles donnent un modus operandi pour la résolution

Spoiler : Figure du cas 1



Spoiler : Figure du cas 2



Pour ceux qui n'ont pas regardé les figures, quelques indices pour commencer, valables pour les deux questions :

Spoiler : Indice 1 Les centres des cercles forment un polygone régulier.

Spoiler : Indice 2 Relier un côté du polygone au centre du grand cercle crée un triangle dont on peut tracer une hauteur...

Spoiler : Indice 3 Pour conclure sur la limite cherchée, utiliser les développements limités.

La case réponse valide la valeur de [latex]\lim_{n \rightarrow \infty}n r_n[/latex] trouvée à la question 2.