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 #1 - 01-10-2010 01:08:41

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Cercles tanggents à des cercles

Voici une énigme qui fera plaisir aux géomètres parmi vous. Elle n'est pas de moi : je vous donnerai le lien en guise de réponse smile

1) On trace, dans un cercle de rayon 1, [latex]n[/latex] cercles de même rayon [latex]r_n[/latex], tangents au "grand cercle", et chacun d'eux tangent à ses deux voisins. Comment exprimer [latex]r_n[/latex], et vers quoi tend [latex]n r_n[/latex] quand n tend vers l'infini ?

2) On trace, à l'extérieur d'un cercle de rayon 1, [latex]n[/latex] cercles de même rayon [latex]r_n[/latex], tangents au "grand cercle", et chacun d'eux tangent à ses deux voisins. Comment exprimer [latex]r_n[/latex], et vers quoi tend [latex]n r_n[/latex] quand n tend vers l'infini ?

Je mets les figures d'illustration (pour n=7) en spoiler, car elles donnent un modus operandi pour la résolution smile

Spoiler : Figure du cas 1
http://www.prise2tete.fr/upload/MthS-MlndN-tangentcircles-inner.jpg


Spoiler : Figure du cas 2
http://www.prise2tete.fr/upload/MthS-MlndN-tangentcircles-outer.jpg


Pour ceux qui n'ont pas regardé les figures, quelques indices pour commencer, valables pour les deux questions :

Spoiler : Indice 1 Les centres des cercles forment un polygone régulier.

Spoiler : Indice 2 Relier un côté du polygone au centre du grand cercle crée un triangle dont on peut tracer une hauteur...

Spoiler : Indice 3 Pour conclure sur la limite cherchée, utiliser les développements limités.

La case réponse valide la valeur de [latex]\lim_{n \rightarrow \infty}n r_n[/latex] trouvée à la question 2.



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 #2 - 01-10-2010 10:21:19

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3820
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

cercles tangents à des xercles

Bonjour Mathias,

Tes deux questions sont très amusantes.
On voit tout de suite que dans les deux cas, la suite des polygones tend vers le cercle, donc que les deux suites qui expriment le périmètre des polygones doit tendre vers le périmètre du cercle, soit PI.

Klim.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #3 - 01-10-2010 10:27:35

McFlambi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 144

Cercles tangetns à des cercles

Alors je me lance sans regarder les spoilers (a ce propos la technique de vasimolo qui consiste a placer les spoilers progressivement et non des le debut est pas mal smile )

pour l'interieur et l'exterieur, il s'agit de diviser le cercle en [latex]n[/latex] parts. Sans savoir exprimer [latex]r_n[/latex] je peux deja intuiter que vers l'infini, ces petits cercles feront une jolie micro decoration autour du cercle principal et donc la somme de ces rayons (=[latex]n r_n[/latex]) sera la moitie de la somme des perimetres, qui vaudra sans doute [latex]2\pi[/latex]. Donc pour moi avant toute chose,
[TeX]\lim_{n\rightarrow \infty} n r_n = \pi[/TeX]
maintenant pour exprimer [latex]r_n[/latex]... On part de la relation entre corde [latex]C[/latex] et angle [latex]\theta[/latex]:
[TeX]C=2 R \sin \frac{\theta}{2}[/TeX]
On peut tracer le cercle qui passe par tous les centres des petits cercles, de rayon [latex]R=1 \pm r_n[/latex], et dont les cordes tendues entre chaque centre sont de longueur [latex]C=2 r_n[/latex] et alors on a la relation suivante apres simplification par 2:
[TeX] r_n= (1 \pm r_n) \sin \frac{\pi}{n}[/TeX]
soit deux cas, avec interieur :
[TeX] r_n= \frac{\sin \frac{\pi}{n}}{1+\sin \frac{\pi}{n}}[/TeX]
et exterieur :
[TeX]r_n= \frac{\sin \frac{\pi}{n}}{1-\sin \frac{\pi}{n}}[/TeX]
ce qui est coherent avec la limite d'avant.

 #4 - 01-10-2010 12:09:00

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

cercles tabgents à des cercles

Klimrod et McFlambi ont tous deux répondu d'instinct à la question "finale" sans même faire le reste des calculs avant... Je suis hautement impressionné, messieurs smile


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 #5 - 01-10-2010 17:48:04

zikmu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 277

Cerlces tangents à des cercles

Au pif je dirais bien entendu PI puisque si les cercles deviennent infiniment petits le polygone composé de leurs centres se confondra avec la circonférence du cercle donc 2PI ( et comme un coté fait pas loin du diamètre ? ) wink

 #6 - 01-10-2010 20:15:56

franck9525
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1927
Lieu: UK

Cerclles tangents à des cercles

[TeX]\lim_{n\to +\infty}{nr_n} = \frac{1}{2} \time[ \lim_{n\to +\infty}{nD_n}]=\pi/2[/TeX]


The proof of the pudding is in the eating.

 #7 - 01-10-2010 21:04:05

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 564

cercles tangents à ses cercles

Intuitivement, je ferais tendre les deux valeurs vers pi.

 #8 - 02-10-2010 01:07:14

luthin
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 124

Cercles tangents à ds cercles

Dans les deux cas, le périmètre du polygone régulier est [latex]2nr_n[/latex]. Quand n tend vers l'infini, le polygone tend vers le cercle de rayon 1. Donc [latex]nr_n[/latex] tend vers [latex]\pi[/latex].

 #9 - 02-10-2010 11:11:07

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4776

Cercles tangents à des crecles

Bonjour à tous smile

On peut traiter les deux limites d'un coup . On a :
[TeX]r=\frac{\sin\frac{\pi}n}{1+\sin\frac{\pi}n}[/latex] et [latex]R=\frac{\sin\frac{\pi}n}{1-\sin\frac{\pi}n}[/TeX]
Avec [latex]2nr<2\pi<2nR[/latex] donc [latex]nr<\pi<nR[/latex]

Or [latex]nR-nr=2n\tan^2(\frac{\pi}n)[/latex] qui décroit vers 0 quand n tend vers l'infini .

Vasimolo

 #10 - 02-10-2010 12:01:53

nono2
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 308

Cercles tangets à des cercles

la réponse à la case réponse est pi ; je vais essayer de développer.

 #11 - 02-10-2010 13:01:54

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Cercles tangents à des ceercles

N'oubliez pas qu'on demande aussi de calculer [latex]r_n[/latex] dans chacun des deux cas smile


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 #12 - 04-10-2010 11:25:11

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Cercles tangents à des cerclles

1er cas
Les centres des cercles forment un polygone régulier à n cotés.
La distance du centre du grand cercle à chaque sommet du polygone vaut [latex]1-r_n[/latex] et la longueur du coté vaut [latex]2.r_n[/latex]. On a donc:
[TeX]\dfrac{r_n}{1-r_n}=sin(\dfrac{\pi}{n})[/latex], on en tire: [latex]r_n=\dfrac{sin(\dfrac{\pi}{n})}{1+sin(\dfrac{\pi}{n})}[/TeX]
[TeX]n.r_n=\dfrac{n.sin(\dfrac{\pi}{n})}{1+sin(\dfrac{\pi}{n})}[/TeX]
On utilise le fait que [latex]sin(x)=x+x^2\epsilon(x)[/latex] au voisinage de 0 avec [latex]\lim_{x \rightarrow 0}{\epsilon(x)}=0[/latex] pour en déduire que [latex]\lim_{n \rightarrow \infty}{n.sin(\dfrac{\pi}{n})}=\pi[/latex] et que donc:
[TeX]\lim_{n \rightarrow \infty}{n.r_n}=\pi[/TeX]
2eme cas
Exactement même raisonnement que précédement sauf que la distance du centre du grand cercle à chaque sommet du polygone vaut [latex]1+r_n[/latex].

On trouve donc:
[TeX]r_n=\dfrac{sin(\dfrac{\pi}{n})}{1-sin(\dfrac{\pi}{n})}[/TeX]
et finalement (pour les mêmes raisons):
[TeX]\lim_{n \rightarrow \infty}{n.r_n}=\pi[/TeX]
ce qui est confirmé par la case réponse.

Merci pour cette petite énigme sympa.

 #13 - 04-10-2010 16:02:10

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1473

Cercles taangents à des cercles

Au feeling pour la case réponse: les cercles vont devenir de plus en plus petits pour au final "coller" au premier cercle. Comme n*2*Rn correspond au périmètre du polygone qui parcourt tous les centres de cercles, il tend en théorie vers 2Pi (le périmètre du cercle principal, qu'on "colle" comme expliqué ci dessus). "Pi" devrait donc valider la case réponse (et le valide effectivement).

Pour la valeur de Rn, dans le cas 1 (respectivement le cas 2), on peut considérer que sin(Pi/n) = Rn / (R-Rn) (resp. sin(Pi/n) = Rn / (R+Rn) )
Pour s'en convaincre il suffit de tracer un triangle qui part du centre de C et qui intercepte un rayon Rn entre le centre d'un petit cercle et un des points de contact avec son voisin, la valeur Pi/n vient du fait que les 2n angles qu'on forme sur tout le tour sont égaux et que leur somme vaut 2Pi.

Revenons à notre calcul: Rn = R * sin(Pi/n) / (1 + sin(Pi/n)) (resp. Rn = R * sin(Pi/n) / (1 - sin(Pi/n)) ). Du coup, on peut calculer n*Rn à l'infini en faisant un DL et on trouve R*Pi dans les deux cas (et comme R vaut 1, on trouve Pi ^^)

 #14 - 04-10-2010 22:53:39

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

cerckes tangents à des cercles

Oh, tiens, je retrouve sensiblement les mêmes que dans mon autre énigme, que je viens de clôturer smile

La case réponse validait "pi", pour des raisons que vous avez très bien expliquées. J'ai tiré ce problème de la section "Divers" d'un site sur lequel j'ai traîné pour préparer mon CAPES, voici le lien vers le joli PDF de solution fait par le môssieur :

https://docs.google.com/viewer?url=http … Cercle.pdf (pour le regarder en Google Doc)

http://www.capes-de-maths.com/divers/DefiSamCercle.pdf (clic droit pour le télécharger)

Bravo à tous smile


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