Alors je me lance sans regarder les spoilers (a ce propos la technique de vasimolo qui consiste a placer les spoilers progressivement et non des le debut est pas mal )

pour l'interieur et l'exterieur, il s'agit de diviser le cercle en $n$ parts. Sans savoir exprimer $r_n$ je peux deja intuiter que vers l'infini, ces petits cercles feront une jolie micro decoration autour du cercle principal et donc la somme de ces rayons (=$n r_n$) sera la moitie de la somme des perimetres, qui vaudra sans doute $2\pi$. Donc pour moi avant toute chose,
$$\lim_{n\rightarrow \infty} n r_n = \pi$$
maintenant pour exprimer $r_n$... On part de la relation entre corde $C$ et angle $\theta$:
$$C=2 R \sin \frac{\theta}{2}$$
On peut tracer le cercle qui passe par tous les centres des petits cercles, de rayon $R=1 \pm r_n$, et dont les cordes tendues entre chaque centre sont de longueur $C=2 r_n$ et alors on a la relation suivante apres simplification par 2:
$$r_n= (1 \pm r_n) \sin \frac{\pi}{n}$$
soit deux cas, avec interieur :
$$r_n= \frac{\sin \frac{\pi}{n}}{1+\sin \frac{\pi}{n}}$$
et exterieur :
$$r_n= \frac{\sin \frac{\pi}{n}}{1-\sin \frac{\pi}{n}}$$
ce qui est coherent avec la limite d'avant.

Au pif je dirais bien entendu PI puisque si les cercles deviennent infiniment petits le polygone composé de leurs centres se confondra avec la circonférence du cercle donc 2PI ( et comme un coté fait pas loin du diamètre ? )

Intuitivement, je ferais tendre les deux valeurs vers pi.

Bonjour à tous

On peut traiter les deux limites d'un coup . On a :
$$r=\frac{\sin\frac{\pi}n}{1+\sin\frac{\pi}n}[/latex] et [latex]R=\frac{\sin\frac{\pi}n}{1-\sin\frac{\pi}n}$$
Avec $2nr<2\pi<2nR$ donc $nr<\pi<nR$

Or $nR-nr=2n\tan^2(\frac{\pi}n)$ qui décroit vers 0 quand n tend vers l'infini .

Vasimolo

N'oubliez pas qu'on demande aussi de calculer $r_n$ dans chacun des deux cas

Au feeling pour la case réponse: les cercles vont devenir de plus en plus petits pour au final "coller" au premier cercle. Comme n*2*Rn correspond au périmètre du polygone qui parcourt tous les centres de cercles, il tend en théorie vers 2Pi (le périmètre du cercle principal, qu'on "colle" comme expliqué ci dessus). "Pi" devrait donc valider la case réponse (et le valide effectivement).

Pour la valeur de Rn, dans le cas 1 (respectivement le cas 2), on peut considérer que sin(Pi/n) = Rn / (R-Rn) (resp. sin(Pi/n) = Rn / (R+Rn) )
Pour s'en convaincre il suffit de tracer un triangle qui part du centre de C et qui intercepte un rayon Rn entre le centre d'un petit cercle et un des points de contact avec son voisin, la valeur Pi/n vient du fait que les 2n angles qu'on forme sur tout le tour sont égaux et que leur somme vaut 2Pi.

Revenons à notre calcul: Rn = R * sin(Pi/n) / (1 + sin(Pi/n)) (resp. Rn = R * sin(Pi/n) / (1 - sin(Pi/n)) ). Du coup, on peut calculer n*Rn à l'infini en faisant un DL et on trouve R*Pi dans les deux cas (et comme R vaut 1, on trouve Pi ^^)