C'est ma première énigme alors ne soyez pas trop sévère avec moi...

Je m'adresse ici à tout ceux qui ont déjà connaissance de la notion de dérivée.
Vous connaissez la formule de dérivation d'un produit : $(fg)' = f'g + fg'$

Si on dérive une seconde fois cette dérivée, on obtient 4 termes et on remarque que le deuxième et le troisième sont toujours égaux.

Par exemple, si on dérive la fonction ($\ln x \sin x$), on obtient :

$$(\ln x \sin x)' = \frac{1}{x} \sin x + \ln x \cos x$$
Si on dérive cette dérivée, on trouve :
$$-\frac{1}{x^2} \sin x + \frac{1}{x} \cos x + \frac{1}{x} \cos x - \ln x \sin x$$
On remarque qu'effectivement les deuxième et troisième termes sont égaux.

Pour plus de certitude, démontrons-le :
$$(fg)' = f'g + fg'$$ $$(f'g + fg')' = f''g + f'g' + f'g' + fg''$$
Cela me parait clair...

Mais si l'on applique cette propriété à la fonction $x^7 \exp(x^2)$, il vient :
$$(x^7 \exp(x^2))' = 7x^6 \exp(x^2) + 2x^8 \exp(x^2)$$
En dérivant une seconde fois, on obtient :
$$42x^5 \exp(x^2) + 14x^7 \exp(x^2) + 16x^7 \exp(x^2) + 4x^9 \exp(x^2)$$
ce qui nous donne bien $14 = 16$...

Oups.