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 #1 - 22-12-2010 23:13:40

fred101274
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 163
Lieu: devant mon écran

14 = 61

C'est ma première énigme alors ne soyez pas trop sévère avec moi...

Je m'adresse ici à tout ceux qui ont déjà connaissance de la notion de dérivée.
Vous connaissez la formule de dérivation d'un produit : [latex](fg)' = f'g + fg'[/latex]

Si on dérive une seconde fois cette dérivée, on obtient 4 termes et on remarque que le deuxième et le troisième sont toujours égaux.

Par exemple, si on dérive la fonction ([latex]\ln x \sin x[/latex]), on obtient :
[TeX](\ln x \sin x)' = \frac{1}{x} \sin x + \ln x \cos x[/TeX]
Si on dérive cette dérivée, on trouve :
[TeX]-\frac{1}{x^2} \sin x + \frac{1}{x} \cos x + \frac{1}{x} \cos x - \ln x \sin x[/TeX]
On remarque qu'effectivement les deuxième et troisième termes sont égaux.

Pour plus de certitude, démontrons-le :
[TeX](fg)' = f'g + fg'[/TeX][TeX](f'g + fg')' = f''g + f'g' + f'g' + fg''[/TeX]
Cela me parait clair...

Mais si l'on applique cette propriété à la fonction [latex]x^7 \exp(x^2)[/latex], il vient :
[TeX](x^7 \exp(x^2))' = 7x^6 \exp(x^2) + 2x^8 \exp(x^2)[/TeX]
En dérivant une seconde fois, on obtient :
[TeX]42x^5 \exp(x^2) + 14x^7 \exp(x^2) + 16x^7 \exp(x^2) + 4x^9 \exp(x^2)[/TeX]
ce qui nous donne bien [latex]14 = 16[/latex]...

Oups.



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On n’est jamais très fort pour ce calcul...
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 #2 - 22-12-2010 23:40:51

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 932

14 = 1

Très astucieux !
La deuxième dérivation du cas particulier n'est pas celle du cas général... Il aurait fallu dériver le produit de x^7 et de 2x exp(x²) et non celui de 2x^8 et de exp(x²). Il faut bien creuser pour voir la subtilité.


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #3 - 23-12-2010 00:09:49

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

114 = 16

[latex]\left( exp^{x^2}\right)'' = \left( 2x exp^{x^2}\right)' = (2+4x^2)exp^{x^2}[/latex] ce qui nous donne les 2 extra qui permettent de passer de 14 à 16. cool


The proof of the pudding is in the eating.

 #4 - 23-12-2010 00:26:13

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

144 = 16

Amusant.

Ce n'est pas simple à voir mais le 16x^7exp(x^2) est en fait la somme de 2 termes, un qui fait 14x^7exp(x^2) et 2x^7exp(x^2).

Dans ce cas le g est une fonction composée et sa dérivée seconde fait apparaître 2 termes.
[TeX](f.goh)''=(f'.goh + f.h'.g'oh)'=f''.goh+f'.h'.g'oh+f'.h'.g'oh+f.(h''.g'oh + h'^2.g''oh)[/TeX]
On retrouve bien les 2 facteurs égaux: [latex]f'.h'.g'oh[/latex] mais le dernier terme vaut:
[latex]f.(h''.g'oh + h'^2.g''oh)[/latex].
Dans notre cas: [latex]f(x)=x^7, g(x)=exp{x}, h(x)=x^2[/latex] et le dernier terme vaut donc:
[latex]x^7(2.exp{x^2}+4x^2.exp{x^2})[/latex]. Le second terme de ce dernier terme donne le [latex]4x^9exp{x^2}[/latex] et le premier terme de ce dernier terme: [latex]2x^7exp{x^2}[/latex] vient s'ajouter discrètement au [latex]14x^7exp{x^2}[/latex] pour donner le 16.

En somme, tout va bien, la dérivée est bien la bonne, c'est juste que le calcul groupe les termes différemment du cas (fg)'' donné en énoncé. Et bien sûr 14 ne vaut pas 16, ce qui est heureux. smile

Merci pour cette énigme et n'hésite pas à en poser d'autres.

 #5 - 23-12-2010 00:42:12

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

144 = 16

Tu nous dis : (fg)'' = fg'' + f'g' + f'g' + f''g

Ici, on prend [latex]f(x) = x^7[/latex] et [latex]g(x) = e^{x^2}[/latex]

Donc [latex]f'(x) = 7 x^6[/latex] et [latex]g'(x) = 2xe^{x^2}[/latex]
[TeX]f''(x) = 42 x^5[/latex] et [latex]g'(x) = (4x^2 + 2) e^{x^2}[/TeX]
Je pense que c'est là où ta fonction nous blouse smile En développant, on obtient :
[TeX](fg'' + f'g' + f'g' + f''g)(x) = x^7 (4x^2 + 2) e^{x^2} + 2 \times 7 x^6 \times 2xe^{x^2} + 42 x^5 e^{x^2}[/TeX]
Soit :
[TeX](fg)''(x) = (4 x^9 + 30 x^7 + 42 x^5) e^{x^2}[/TeX]
Qui est bien le résultat que tu exposes.

En attendant, elle m'a bloqué le cerveau pendant de loooongues minutes, bien joué wink


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 #6 - 23-12-2010 09:52:10

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

41 = 16

il y a un bout du terme de coefficient 16 qui vient de fg'' et non de f'g', petit coquin va !

 #7 - 23-12-2010 10:48:34

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1432

14 = 61

Le problème vient du fait que 2x^8 est dérivé comme s'il s'agissait de f et e(x^2) comme s'il s'agissait de g'.
Si on fait (x^7)' * (2x.e(x^2)), on retrouve bien 14 et non pas 16

Plus en détail:
g(x) = e(x^2)
g' = 2x e(x^2)
g'' = 2e(x^2) + 4x^2 e(x^2)
Du coup, fg'' = 2 x^7 e(x^2) + 4x^9 e(x^2), le terme en 2x^7 a été ajouté au terme en 14x^7 pour faire apparaître le 16 au lieu de 14

 #8 - 23-12-2010 17:05:45

aunorddunord
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 3
Messages : 10

14 =16

Il ne faut pas décomposer 2x^8exp(x^2) comme étant le produit de f par g', avec f(x)=2x^8 et g'(x)=exp(x^2),
ce qui est faux si on prend au départ f(x)=x^7 et g(x)=exp(x^2),

mais en tant que produit de x^7 par 2xexp(x^2), auquel cas on obtient comme dérivée de ce produit: (x^7)' X 2xexp(x^2) + x^7 X (2xexp(x^2))',
soit : 7x^6 X 2xexp(x^2) + x^7 X [2exp(x^2) + 4x^2exp(x^2)]
soit :  14x^7exp(x^2) + 2x^7exp(x^2) + 4x^9exp(x^2)
et on retrouve bien f'g' = 14x^7exp(x^2)  et fg"= 2x^7exp(x^2) + 4x^9exp(x^2)

Conclusion: les 2x^7exp(x^2) en "trop" dans le raisonnement donné dans l'énigme proviennent du dernier terme (fg") et ne font pas partie de f'g'.

Un moyen de retomber sur nos "pattes" est de redécomposer le résultat auquel l'énigme aboutit:
42x^5exp(x^2) + 14x^7exp(x^2) + 16x^7exp(x^2) + 4x^9exp(x^2)
= 42x^5exp(x^2) + 14x^7exp(x^2) + (14+2)x^7exp(x^2) + 4x^9exp(x^2)
= 42x^5exp(x^2) + 14x^7exp(x^2) + 14x^7exp(x^2) + 2x^7exp(x^2) + 4x^9exp(x^2)
= 42x^5exp(x^2) + 14x^7exp(x^2) + 14x^7exp(x^2) + (2x^7 + 4x^9)exp(x^2)

et les 2x^7 en "trop" sont revenus à leur place!


FA

 #9 - 24-12-2010 21:12:59

toni77
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 65

14 = 166

[TeX]2e^{x^2}[/latex] (à multiplier ensuite par [latex]x^7[/latex]) provient de la dérivée seconde de [latex]e^{x^2}[/TeX]
Donc, [latex](f'g')(x)=14x^7e^{x^2}[/latex]

 #10 - 24-12-2010 23:47:27

McFlambi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 144

14 = 1

doit y en avoir deux qui appartiennent a [latex]fg''[/latex]

Avec [latex]f=x^7[/latex] et [latex]g= e^{x^2}[/latex]

on a
[TeX]f'=7x^6[/TeX]
[TeX]f''=42 x^5[/TeX]
[TeX]g'=2x e^{x^2}[/TeX]
[TeX]g''=4x^2 e^{x^2} + 2 e^{x^2}[/TeX]
et [latex]fg''=4x^9 e^{x^2} + 2 x^7 e^{x^2}[/latex]

 #11 - 25-12-2010 09:30:03

debutant1
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 116

14 = 61

la dérivée seconde de exp(x^2) est

(2+4x^2) exp(x^2)

et on retrouve bien 16=2+14

 #12 - 26-12-2010 09:39:37

fred101274
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 163
Lieu: devant mon écran

1 = 16

Bravo à tous. J'en ai deux ou trois autres du même style. Si elles vous intéresse, je les partage volontiers...


On n’est jamais très fort pour ce calcul...

 #13 - 26-12-2010 12:26:11

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

144 = 16

Vas-y, envoie smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #14 - 26-12-2010 12:50:45

fred101274
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 163
Lieu: devant mon écran

114 = 16

Ok. Aujourd'hui je m'occupe de mes enfants mais dès demain, je poste ça.


On n’est jamais très fort pour ce calcul...
 

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