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Résumé de la discussion

irmo322
03-06-2011 02:50:48

Yanyan a écrit:

J'ai vu quelque part qu'une fonction croissante ou continue qui vérifiait
[TeX]f(ab)=f(a)+f(b)[/TeX]
était une fonction logarithme.

Tout à fait.

SHTF47
03-06-2011 01:31:29

Une très très connue mais bon ça fait plaisir quand même...

Cosinus et Logarithme sont au restaurant. Qui c'est qui paie ???
Spoiler : [Afficher le message] Cosinus, car Logarithme ne paie rien... lol

Yanyan
02-06-2011 23:21:37

J'ai vu quelque part qu'une fonction croissante ou continue qui vérifiait
[TeX]f(ab)=f(a)+f(b)[/TeX]
était une fonction logarithme.

Yanyan
24-05-2011 07:09:09

Je suis en tous points d'accord avec toi irmo322.
On voit donc que le logarithme classique est vraiment naturel...

irmo322
23-05-2011 22:04:00

Les [latex]\phi_{P}[/latex] sont plutôt définis seulement sur [latex]\mathbb{Q}^{*}_{+}[/latex].

Soit P un polynôme tel que [latex]\phi_{P}[/latex] est croissante.

Soit p premier.

Soit [latex]n\in\mathbb{N}[/latex] tel que [latex]p\leq 2^{n}[/latex].
Par croissance, on a: [latex]\phi_{P}(p)\leq \phi_{P}(2^{n})[/latex]
Donc [latex]P(p)\leq n.P(2)[/latex].
On peut choisir [latex]n=E(\frac{ln(p)}{ln(2)})+1[/latex].   (où [latex]E(x)[/latex] est la partie entière de [latex]x[/latex]).

On a alors: [latex]P(p)\leq \big(E(\frac{ln(p)}{ln(2)})+1\big).P(2)[/latex].

En regardant le comportement à l'infini, on en déduit que P est constant (P ne peut être négatif à l'infini, sinon ça contredit la croissance de [latex]\phi_{P}[/latex]).

Le seul polynôme constant qui rend [latex]\phi_{P}[/latex] croissante est le polynôme nul.

Yanyan
23-05-2011 18:55:08

J'ai remarqué que si on définit [latex]\phi(p_1^{a_1} p_2^{a_2} ... p_k^{a_k})=a_1p_1+ a_2p_2+...+a_kp_k[/latex] avec les [latex]a_i[/latex] dans [latex]Z[/latex] on obtenait une fonction sur [latex]Q[/latex] bien définie, qui vérifiait les formules du logarithme.
On voit vite que cette fonction n'est pas croissante d'où la question suivante existe-t-il un polynôme P tel que [latex]\phi_P(p_1^{a_1} p_2^{a_2} ... p_k^{a_k})=a_1P(p_1)+ a_2P(p_2)+...+a_kP(p_k)[/latex] soit croissante?

Les [latex]p_i[/latex] étant les premiers.

(Je n'ai pas osé poster ça dans les énigmes maths.)

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