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 #1 - 23-05-2011 18:55:08

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Rmearque sur les logarithmes et question

J'ai remarqué que si on définit [latex]\phi(p_1^{a_1} p_2^{a_2} ... p_k^{a_k})=a_1p_1+ a_2p_2+...+a_kp_k[/latex] avec les [latex]a_i[/latex] dans [latex]Z[/latex] on obtenait une fonction sur [latex]Q[/latex] bien définie, qui vérifiait les formules du logarithme.
On voit vite que cette fonction n'est pas croissante d'où la question suivante existe-t-il un polynôme P tel que [latex]\phi_P(p_1^{a_1} p_2^{a_2} ... p_k^{a_k})=a_1P(p_1)+ a_2P(p_2)+...+a_kP(p_k)[/latex] soit croissante?

Les [latex]p_i[/latex] étant les premiers.

(Je n'ai pas osé poster ça dans les énigmes maths.)



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Un mathématicien complet est topologiquement fermé!
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 #2 - 23-05-2011 22:04:00

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 203

Remarque sur les logrithmes et question

Les [latex]\phi_{P}[/latex] sont plutôt définis seulement sur [latex]\mathbb{Q}^{*}_{+}[/latex].

Soit P un polynôme tel que [latex]\phi_{P}[/latex] est croissante.

Soit p premier.

Soit [latex]n\in\mathbb{N}[/latex] tel que [latex]p\leq 2^{n}[/latex].
Par croissance, on a: [latex]\phi_{P}(p)\leq \phi_{P}(2^{n})[/latex]
Donc [latex]P(p)\leq n.P(2)[/latex].
On peut choisir [latex]n=E(\frac{ln(p)}{ln(2)})+1[/latex].   (où [latex]E(x)[/latex] est la partie entière de [latex]x[/latex]).

On a alors: [latex]P(p)\leq \big(E(\frac{ln(p)}{ln(2)})+1\big).P(2)[/latex].

En regardant le comportement à l'infini, on en déduit que P est constant (P ne peut être négatif à l'infini, sinon ça contredit la croissance de [latex]\phi_{P}[/latex]).

Le seul polynôme constant qui rend [latex]\phi_{P}[/latex] croissante est le polynôme nul.

 #3 - 24-05-2011 07:09:09

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Reemarque sur les logarithmes et question

Je suis en tous points d'accord avec toi irmo322.
On voit donc que le logarithme classique est vraiment naturel...


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #4 - 02-06-2011 23:21:37

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Rearque sur les logarithmes et question

J'ai vu quelque part qu'une fonction croissante ou continue qui vérifiait
[TeX]f(ab)=f(a)+f(b)[/TeX]
était une fonction logarithme.


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #5 - 03-06-2011 01:31:29

SHTF47
Imprnnçbl de Prs2Tt
Enigmes résolues : 39
Messages : 1629
Lieu: Autre nom du colin

Remarque sur es logarithmes et question

Une très très connue mais bon ça fait plaisir quand même...

Cosinus et Logarithme sont au restaurant. Qui c'est qui paie ???
Spoiler : [Afficher le message] Cosinus, car Logarithme ne paie rien... lol


La musique est une mathématique sonore, la mathématique une musique silencieuse. [Edouard HERRIOT]

 #6 - 03-06-2011 02:50:48

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 203

Remarque ssur les logarithmes et question

Yanyan a écrit:

J'ai vu quelque part qu'une fonction croissante ou continue qui vérifiait
[TeX]f(ab)=f(a)+f(b)[/TeX]
était une fonction logarithme.

Tout à fait.

 

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