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MthS-MlndN
19-10-2011 18:07:24

Je ne l'avais jamais fait, en tout cas. J'avais pensé partir sur les racines (d'ailleurs, Yuka, si je n'ai rien suivi à ta démo, c'est parce que tu confonds "solution" -- ici, un polynôme, car on a une équation polynomiale -- et "racine" -- un complexe), mais je n'étais pas allé bien loin. Dommage hmm

Merci beaucoup smile

Yuka2
19-10-2011 00:33:27

Autre chose -c'est peut-être la même idée que Yuka -
si a est un zéro de P, P(a^2)=P(a)*P(a+1)=0 donc a^2 est aussi un zéro de P,de même que a^4, a^8, etc. C'est à dire une infinité de solutions distinctes si a n'est pas 0 ou 1.

Attention, ton polynôme est à coefficients réels mais il peut avoir des racines complexes. Donc tu ne peux qu'en déduire que le module de a vaut 0 ou 1 à ce stade.
Rien n'empêche i (celui dont le carré vaut -1) d'être racine avec le seul argument que la suite des a^(2n) est solution de P(X) = 0


Soit S l'ensemble des racines du polynômes
On a seulement : a appartient à S => a=0 ou |a|=1

C'est pour ça que par la suite j'ai ajouté le changement de variable x = y-1 qui permet de déduire que
a appartient à S => (a-1)^2 appartient à S
Il vient a-1 = 0 ou |a-1| = 1 d'après la première implication ci dessus.

On résout |a|=|a-1| = 1. On trouve que s'il existe des racines autres que 0 ou 1 alors elles ne peuvent valoir que e(i*Pi/3) ou e(-i*Pi/3).

ensuite on utilise a appartient à S => (a-1)^2 appartient à S en remplaçant tour à tour par les deux solutions candidates et on en déduit qu'elles ne vérifient finalement pas la propriété.

C'est seulement à ce moment là qu'on peut en déduire que 0 et 1 sont les seules racines possibles d'un tel polynôme.

Un bon candidat polynôme est X^n(X-1)^n mais je ne vois pas bien comment prouver que 0 et 1 ont la même multiplicité.

Comme je l'ai fait dans mon premier message, on suppose deux multiplicités a et b, on remplace l'écriture X^a(X-1)^b dans l'égalité de l'énoncé, on identifie les puissances et on tombe sur a=b.

Conclusion
P(X)=0
P(X)=1
P(X) =X^n(X-1)^n pour tout n > 0
sont les seules solutions.

Un exo classique de math sup en soi.

esereth
18-10-2011 23:29:51

Bonsoir,


J'abandonne quelque temps les horloges d'Arrakis pour revenir sur le deuxième problème.

Mes connaissances sur les polynômes ont  sans doute besoin d'être actualisées.

Je n'ai pas trouvé grand chose et je risque de répéter ce que tu as dit.
Si le degré de P est n, le coefficient de x^n ne peut qu'être 1

En cherchant les polynômes de degré 1 solution, donc de la forme X+b,  je n'en ai pas trouvé,.
Les conditions sur b mènent à b=0 et b=-1.

Ça vaudrait peut-être le coup de regarder pour les trinômes.

Autre chose -c'est peut-être la même idée que Yuka -
si a est un zéro de P, P(a^2)=P(a)*P(a+1)=0 donc a^2 est aussi un zéro de P,de même que a^4, a^8, etc. C'est à dire une infinité de solutions distinctes si a n'est pas 0 ou 1.
Cela ne signifie-t-il pas que les seuls  zéros possibles sont 0 et 1?
Un bon candidat polynôme est X^n(X-1)^n mais je ne vois pas bien comment prouver que 0 et 1 ont la même multiplicité.

Yuka2
18-10-2011 22:17:12

Je parle du module d'une racine Z noté |Z|.

Soit Z une racine :
en remplacant dans l'expression initiale tu en deduis que Z^2 est aussi une racine.
Ainsi si tu supposes que le module de Z est different de 0 ou de 1, tu vas de retrouver avec une infinite de racines pour un polynome de degre fini.

En tout cas, je décroche à la ligne suivante...

c'est une simple reecriture par changement de variable : x = y-1 qui te permet de conclure que Z racine => (Z-1)^2 l'est aussi.

MthS-MlndN
18-10-2011 21:58:33

Yuka2 a écrit:

Pour le deuxieme :
On montre facilement que si Z est solution on a Z=0 ou |Z| = 1.

de plus P(x^2) = P(x)P(x+1)<=> P((y-1)^2) = P(y-1) P(y)

donc si Z est solution, alors (Z-1)^2 aussi.

D'ou Z = 1 ou |Z-1| = 1.

On obtient finalement que les seules racines sont 0 ou 1.

d'ou P(X) = X^a * (X-1)^b

P(X+1)= (X+1)^a * (X)^b

P(X^2) = X^2a * (X^2-1)^b

d'ou X^a+b * (X-1)^b * (X+1)^a = X^2a * (X-1)^b * (X+1)^b

il vient b=a.

Je n'ai rien compris à cette démo.

Quand tu notes |Z|, ça correspond au coefficient dominant de Z qui vaut 1 ?

En tout cas, je décroche à la ligne suivante... MP ?


Pour le premier, j'ai fini par trouver (en gros, me faire suggérer ailleurs qu'ici) le recours à la division que propose Esereth, et je me suis trouvé stupide de ne pas y avoir pensé avant ! Merci, Esereth smile

ash00
18-10-2011 20:24:10

MthS-MlndN a écrit:

Je sais pas pourquoi, mais je m'attendais à ce qu'au moins une personne me fasse cette remarque.

Tu devais te douter que cela viendrait de moi lol

Azdod
18-10-2011 20:10:48

Mathias qui demande de l'aide big_smile !! haha le monde à l'envers big_smile

esereth
18-10-2011 17:11:12

Bonjour


Un truc qui me vient à l'idée pour le premier
Résoudre  [latex]P(x) = 0 [/latex] équivaut à [latex](\frac{x+1}{x-1})^n=1[/latex] et x différent de 1
Ça  donne la résolution de

[latex]\frac{x+1}{x-1} = e^{\frac{2ik\pi}{n} }[/latex] pour tout k entre 1 et n-1.


On arrive sauf erreur à [latex]x=i \cot \frac{k\pi}{n}[/latex] pour k entre 1 et n-1, ce qui permet de retrouver les propriétés que tu citais.

Edit : j'avais commencé sur mon smartphone mais pour les maths ce n'est pas terrible. (Je constate d'ailleurs que je n'arrive pas non plus à retrouver comment écrire  différent et cotan donc ça reste "pas terrible" big_smile)

Yuka2
18-10-2011 16:02:06

Pour le deuxieme :
On montre facilement que si Z est racine du polynome on a Z=0 ou |Z| = 1.

de plus P(x^2) = P(x)P(x+1)<=> P((y-1)^2) = P(y-1) P(y)

donc si Z est racine, alors (Z-1)^2 l'est aussi.

D'ou Z = 1 ou |Z-1| = 1.

On obtient finalement que les seules racines sont 0 ou 1.

d'ou P(X) = X^a * (X-1)^b

P(X+1)= (X+1)^a * (X)^b

P(X^2) = X^2a * (X^2-1)^b

d'ou X^a+b * (X-1)^b * (X+1)^a = X^2a * (X-1)^b * (X+1)^b

il vient b=a.

MthS-MlndN
18-10-2011 14:21:00

Je sais pas pourquoi, mais je m'attendais à ce qu'au moins une personne me fasse cette remarque.

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