Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #1 - 18-10-2011 13:46:08

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

[demande d'aide] voys aimez le calcul de polynômes ?

Je n'aurai pas le mauvais goût de poster ce topic dans les énigmes mathématiques, car ce n'est qu'une demande de coup de main concernant deux petits exercices que je dois donner à des élèves de TD le mois prochain... et sur lesquels je bloque lamentablement lol

Je vous en livre les sujets, et des ébauches de réflexion :


Calculez les racines complexes de [latex]P(X) = (X+1)^n - (X-1)^n[/latex]

Le polynôme est clairement de degré [latex]n-1[/latex] ; il a donc [latex]n-1[/latex] racines complexes.

Si [latex]n[/latex] est pair, une de ces racines est 0, on peut écrire le polynôme sous une forme du genre [latex]P(X)=XQ(X^2)[/latex] avec [latex]\deg(Q)=\frac{n-1}2[/latex], et on aura [latex]\frac{n-1}2[/latex] couples de complexes conjugués qui seront racines de [latex]P[/latex].

Si [latex]n[/latex] est impair, on peut directement écrire [latex]P(X)=Q(X^2)[/latex] avec [latex]\deg(Q)=\frac{n}2[/latex] et on aura [latex]\frac{n}2[/latex] couples de complexes conjugués racines de [latex]P[/latex].

Et ensuite ?.. Je pense qu'une forme globale serait horrible, donc peut-être une récurrence, mais comment ? Ou alors, un décalage, du genre "soit [latex]Y = X+1[/latex], regardons ce que ça donne", mais... Si quelqu'un a une idée qui a l'air de marcher, je suis preneur.



Trouvez les polynômes à coefficients réels [latex]P[/latex] tels que [latex]P(X^2)=P(X)P(X+1)[/latex].

Celui-ci est chou tout plein. Quand on a des dérivées, on peut généralement trouver un degré du polynôme. Ici, que dalle.

On peut aussi s'amuser à tout dériver pour voir ce que ça donne. J'ai essayé, et ça ne m'a rien donné. Suis-je passé à côté de quelque chose ?

J'ai essayé de tout développer, genre : soit [latex]\deg(P)=n[/latex], alors [latex]P(X)=\sum_{i=0}^n \alpha_i X^i[/latex], donc [latex]P(X+1)=\dots[/latex] et [latex]P(X^2)=\dots[/latex], l'équation devient alors... mais c'est un sac de nœuds duquel je n'arrive pas à me dépêtrer.

Tout ce que je sais pour l'instant, c'est que le polynôme nul est solution, que le polynôme constant qui vaut 1 partout est solution, et que si d'autres polynômes sont solutions, ils sont de degré supérieur ou égal à 1 et ont pour coefficient dominant 1. Ca ne vole pas très haut...



Merci d'avance à ceux qui prendront cinq minutes pour tenter de m'aider smile



Annonces sponsorisées :

Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
  • |
  • Répondre

#0 Pub

 #2 - 18-10-2011 14:12:15

ash00
Sage de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,568E+3

[Demande d'aide] Vous aimez le calcul de polynmôes ?

Prise2tete n'est pas un site d'aide au TD !
Comme tu es un nouveau venu, je te pardonne et pour cette fois, il n'y aura aucune sanction.

lol

 #3 - 18-10-2011 14:21:00

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

[Demande 'aide] Vous aimez le calcul de polynômes ?

Je sais pas pourquoi, mais je m'attendais à ce qu'au moins une personne me fasse cette remarque.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #4 - 18-10-2011 16:02:06

Yuka2
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 31

[demande d'aide] vous aimez le calcul de poltnômes ?

Pour le deuxieme :
On montre facilement que si Z est racine du polynome on a Z=0 ou |Z| = 1.

de plus P(x^2) = P(x)P(x+1)<=> P((y-1)^2) = P(y-1) P(y)

donc si Z est racine, alors (Z-1)^2 l'est aussi.

D'ou Z = 1 ou |Z-1| = 1.

On obtient finalement que les seules racines sont 0 ou 1.

d'ou P(X) = X^a * (X-1)^b

P(X+1)= (X+1)^a * (X)^b

P(X^2) = X^2a * (X^2-1)^b

d'ou X^a+b * (X-1)^b * (X+1)^a = X^2a * (X-1)^b * (X+1)^b

il vient b=a.

 #5 - 18-10-2011 17:11:12

esereth
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 175

[delande d'aide] vous aimez le calcul de polynômes ?

Bonjour


Un truc qui me vient à l'idée pour le premier
Résoudre  [latex]P(x) = 0 [/latex] équivaut à [latex](\frac{x+1}{x-1})^n=1[/latex] et x différent de 1
Ça  donne la résolution de

[latex]\frac{x+1}{x-1} = e^{\frac{2ik\pi}{n} }[/latex] pour tout k entre 1 et n-1.


On arrive sauf erreur à [latex]x=i \cot \frac{k\pi}{n}[/latex] pour k entre 1 et n-1, ce qui permet de retrouver les propriétés que tu citais.

Edit : j'avais commencé sur mon smartphone mais pour les maths ce n'est pas terrible. (Je constate d'ailleurs que je n'arrive pas non plus à retrouver comment écrire  différent et cotan donc ça reste "pas terrible" big_smile)

 #6 - 18-10-2011 20:10:48

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

[demande d'aide] vous aimea le calcul de polynômes ?

Mathias qui demande de l'aide big_smile !! haha le monde à l'envers big_smile


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #7 - 18-10-2011 20:24:10

ash00
Sage de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,568E+3

[Demande d'aide] Vous aimez le alcul de polynômes ?

MthS-MlndN a écrit:

Je sais pas pourquoi, mais je m'attendais à ce qu'au moins une personne me fasse cette remarque.

Tu devais te douter que cela viendrait de moi lol

 #8 - 18-10-2011 21:58:33

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

[demande d'aide] vous aimez le cakcul de polynômes ?

Yuka2 a écrit:

Pour le deuxieme :
On montre facilement que si Z est solution on a Z=0 ou |Z| = 1.

de plus P(x^2) = P(x)P(x+1)<=> P((y-1)^2) = P(y-1) P(y)

donc si Z est solution, alors (Z-1)^2 aussi.

D'ou Z = 1 ou |Z-1| = 1.

On obtient finalement que les seules racines sont 0 ou 1.

d'ou P(X) = X^a * (X-1)^b

P(X+1)= (X+1)^a * (X)^b

P(X^2) = X^2a * (X^2-1)^b

d'ou X^a+b * (X-1)^b * (X+1)^a = X^2a * (X-1)^b * (X+1)^b

il vient b=a.

Je n'ai rien compris à cette démo.

Quand tu notes |Z|, ça correspond au coefficient dominant de Z qui vaut 1 ?

En tout cas, je décroche à la ligne suivante... MP ?


Pour le premier, j'ai fini par trouver (en gros, me faire suggérer ailleurs qu'ici) le recours à la division que propose Esereth, et je me suis trouvé stupide de ne pas y avoir pensé avant ! Merci, Esereth smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #9 - 18-10-2011 22:17:12

Yuka2
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 31

[demande d'aide] vouq aimez le calcul de polynômes ?

Je parle du module d'une racine Z noté |Z|.

Soit Z une racine :
en remplacant dans l'expression initiale tu en deduis que Z^2 est aussi une racine.
Ainsi si tu supposes que le module de Z est different de 0 ou de 1, tu vas de retrouver avec une infinite de racines pour un polynome de degre fini.

En tout cas, je décroche à la ligne suivante...

c'est une simple reecriture par changement de variable : x = y-1 qui te permet de conclure que Z racine => (Z-1)^2 l'est aussi.

 #10 - 18-10-2011 23:29:51

esereth
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 175

[Demande d'aide] Vus aimez le calcul de polynômes ?

Bonsoir,


J'abandonne quelque temps les horloges d'Arrakis pour revenir sur le deuxième problème.

Mes connaissances sur les polynômes ont  sans doute besoin d'être actualisées.

Je n'ai pas trouvé grand chose et je risque de répéter ce que tu as dit.
Si le degré de P est n, le coefficient de x^n ne peut qu'être 1

En cherchant les polynômes de degré 1 solution, donc de la forme X+b,  je n'en ai pas trouvé,.
Les conditions sur b mènent à b=0 et b=-1.

Ça vaudrait peut-être le coup de regarder pour les trinômes.

Autre chose -c'est peut-être la même idée que Yuka -
si a est un zéro de P, P(a^2)=P(a)*P(a+1)=0 donc a^2 est aussi un zéro de P,de même que a^4, a^8, etc. C'est à dire une infinité de solutions distinctes si a n'est pas 0 ou 1.
Cela ne signifie-t-il pas que les seuls  zéros possibles sont 0 et 1?
Un bon candidat polynôme est X^n(X-1)^n mais je ne vois pas bien comment prouver que 0 et 1 ont la même multiplicité.

 #11 - 19-10-2011 00:33:27

Yuka2
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 31

[Demande d'aide] Vous imez le calcul de polynômes ?

Autre chose -c'est peut-être la même idée que Yuka -
si a est un zéro de P, P(a^2)=P(a)*P(a+1)=0 donc a^2 est aussi un zéro de P,de même que a^4, a^8, etc. C'est à dire une infinité de solutions distinctes si a n'est pas 0 ou 1.

Attention, ton polynôme est à coefficients réels mais il peut avoir des racines complexes. Donc tu ne peux qu'en déduire que le module de a vaut 0 ou 1 à ce stade.
Rien n'empêche i (celui dont le carré vaut -1) d'être racine avec le seul argument que la suite des a^(2n) est solution de P(X) = 0


Soit S l'ensemble des racines du polynômes
On a seulement : a appartient à S => a=0 ou |a|=1

C'est pour ça que par la suite j'ai ajouté le changement de variable x = y-1 qui permet de déduire que
a appartient à S => (a-1)^2 appartient à S
Il vient a-1 = 0 ou |a-1| = 1 d'après la première implication ci dessus.

On résout |a|=|a-1| = 1. On trouve que s'il existe des racines autres que 0 ou 1 alors elles ne peuvent valoir que e(i*Pi/3) ou e(-i*Pi/3).

ensuite on utilise a appartient à S => (a-1)^2 appartient à S en remplaçant tour à tour par les deux solutions candidates et on en déduit qu'elles ne vérifient finalement pas la propriété.

C'est seulement à ce moment là qu'on peut en déduire que 0 et 1 sont les seules racines possibles d'un tel polynôme.

Un bon candidat polynôme est X^n(X-1)^n mais je ne vois pas bien comment prouver que 0 et 1 ont la même multiplicité.

Comme je l'ai fait dans mon premier message, on suppose deux multiplicités a et b, on remplace l'écriture X^a(X-1)^b dans l'égalité de l'énoncé, on identifie les puissances et on tombe sur a=b.

Conclusion
P(X)=0
P(X)=1
P(X) =X^n(X-1)^n pour tout n > 0
sont les seules solutions.

Un exo classique de math sup en soi.

 #12 - 19-10-2011 18:07:24

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

[Demande d'aide] Vous aime zle calcul de polynômes ?

Je ne l'avais jamais fait, en tout cas. J'avais pensé partir sur les racines (d'ailleurs, Yuka, si je n'ai rien suivi à ta démo, c'est parce que tu confonds "solution" -- ici, un polynôme, car on a une équation polynomiale -- et "racine" -- un complexe), mais je n'étais pas allé bien loin. Dommage hmm

Merci beaucoup smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
 

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : 

Un berger a 10 moutons, ils meurent tous sauf 9, combien en reste-t-il ?

Sujets similaires

Mots clés des moteurs de recherche

Mot clé (occurences)
Enigme fringe (1) —

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete