Enigmes

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 #1 - 29-03-2014 12:57:50

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

pkus ou moins la même chose

Bonjour à tous smile

Une petite énigme très simple si on la prend par le bon bout .

Un nombre ( fini ) de nombres positifs est écrit sur un tableau .

On choisit deux de ces nombres que l'on remplace par leur somme et leur différence ( positive ) . On recommence la même manœuvre autant de fois que l'on veut .

Est-il possible de revenir à la position initiale après l'avoir quittée ?

Amusez-vous bien smile

Vasimolo



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 #2 - 29-03-2014 13:50:36

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

plus ou moins la même chosr

Bonjour,

On ne peut pas revenir à la positon initiale car comme on fait la somme des deux nombres, à chaque étape on va avoir des nombres de plus en plus grand.


On peut faire un raisonnement par récurrence :

Si l'on a deux nombre a et b (on suppose a < b) alors après une première étape on a les deux nombres (b - a) et (a + b).  Or a+b > b donc le maximum des deux nombres va croître indéfiniment.

Supposons maintenant que pour tout ensemble de n nombres, il est impossible de revenir à la position initiale. Montrons alors que c'est impossible pour tout ensemble de n+1 nombres.

Soit donc a(1), a(2), ..., a(n), a(n+1) les n+1 nombres triés par ordre croissant.

Si on ne s'occupe que des nombres a(1), ..., a(n), par hypothèse de récurrence, il est impossible de retrouver ces n nombres en ne manipulant que ceux-là.

Et si nous faisons une manipulation avec le nombre a(n+1) et un autre nombre a(i) par exemple alors le nouveau nombre a(i) + a(n+1) > a(n+1) donc le maximum des n+1 nombres croit indéfiniment. On ne pourra donc jamais revenir à la position de départ.

Ceci est valable pour les manipulations avec des nombres strictement positifs.
Mais si on ne fait que des manipulations avec des zéros alors on ne quitte pas la position initiale.


Il y a sûrement plus simple.

 #3 - 29-03-2014 14:00:10

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Plus ou mmoins la même chose

Oui c'est possible s'il y a au moins deux zéros.

Dans le cas contraire, c'est impossible.
En effet, la somme globale de tous les nombres écrits ne fait qu'augmenter après chaque opération. Elle augmente strictement si les deux nombres choisis sont différents et elle est constante si ces deux nombres sont égaux. Pour espérer revenir au départ il faut donc à chaque étape choisir deux nombres identiques. La première fois qu'on le fait, on fait apparaitre un zéro, que l'on ne pourra jamais faire disparaitre.

 #4 - 29-03-2014 18:35:40

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Plus ou moinss la même chose

@Cogito : c'est bon mais tu as l'art de compliquer les choses simples lollollol
@Titoufred : Est-il possible de revenir à la position initiale après l'avoir quittée ? Sinon c'est tout bon .

Vasimolo

 #5 - 29-03-2014 18:50:52

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,472E+3

Plus u moins la même chose

Pour cela, la somme des termes devrait être la même à la fin.
a>b
a+b +(a-b) =2a
2a>a+b la somme augmente donc à chaque manipulation sauf si a=b

Admettons que l'on ait droit à des termes identiques...

A chaque manipulation, on crée un terme nul. que l'on ne pourra retirer qu'avec un terme nul.

En gros , ça ne marche qu'avec une liste de 0

 #6 - 29-03-2014 19:01:14

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Plus ou moins la même chos

@Gwen 2 zéros devraient suffire mais comme il faut quitter la configuration initiale ...

Vasimolo

 #7 - 29-03-2014 19:32:55

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2954

Plus ou moin la même chose

Je ne comprends pas très bien les contraintes. Faut il prendre au moins l'un des nombres résultats (somme ou différence) pour poursuivre les opérations ?
Et c'est quoi la position initiale ? C'est l'ensemble des nombres écrits au tableau ou bien c'est le couple de départ ?
Merci de m'éclairer.

 #8 - 29-03-2014 19:44:45

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

plus ou moins ka même chose

@Nodgim

La position , c'est la donnée des nombres de départ . Deux d'entre eux sont choisis et remplacés par leur somme et leur différence , les autres ne changent pas : c'est une nouvelle position . Peut-on revenir à la position initiale après l'avoir quittée ?

Vasimolo

 #9 - 29-03-2014 20:06:09

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

Plus ou monis la même chose

Comme: a+b > a > b > a-b > 0, le fait de remplacer deux nombres par leur somme et leur différence accroit l'écart entre ces nombres. A priori, il ne semble pas possible de revenir à la position initiale, à moins de faire intervenir les autres nombres: affaire à suivre ...

 #10 - 29-03-2014 20:23:20

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Plus ou moins la même chsoe

Oui, quitter la position initiale (dans le sens en obtenir une différente) pour y revenir est impossible comme je l'ai expliqué. Lorsqu'on la quitte, on crée un 0 que l'on ne pourra jamais effacer.

 #11 - 29-03-2014 22:53:24

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 639

plus oi moins la même chose

Non, on ne peut pas.

Prenons deux chiffres, a et b, (a >= b)
Après l'opération, la somme totale du tableau change de
(a + b) + (a - b) - (a + b) = a - b
Donc pour que la somme totale du tableau n'augmente pas, il faut que a = b
Si a = b, la somme sera égale à 2a et la différence à 0, on ne pourra pas revenir à l'état initial !

 #12 - 30-03-2014 09:42:09

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2954

Plus ou moisn la même chose

OK, j'ai compris.
Alors non, bien sûr car la somme totale est croissante, sauf si tous les nombres sont égaux, auquel cas de toute façon on se trouverait avec un max supérieur dès la 1ère opération.

 #13 - 30-03-2014 10:39:29

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

plus ou moins la même vhose

Parmi les nombres, on en choisi 2 : a et b (avec a>=b)
On récupère donc la même liste mais avec maintenant a+b et a-b à la place de a et b.
Alors la somme des nombres a évolué, elle est passée de :
Tous (sauf a et b) + a + b, à :
Tous (sauf a et b) +(a+b)+(a-b) = Tous (sauf a et b) + 2a

Soit a>b, et alors la somme a augmenté, soit a=b et elle n'a pas changé.

Pour revenir au point de départ, il faut donc que la somme ne change pas après les différentes étapes, puisque après avoir augmenté, elle ne pourrait plus décroître. Il faut donc que a+b=2a, et donc que a = b

On ne peut donc manipuler que des nombres identiques.

En manipulant des nombres égaux, on crée à chaque fois un double et un zéro. Le seul moyen de retrouver l'état initial est donc de ne manipuler que des couples de zéros, sinon on aura des zéros en plus.

Et comme manipuler des couples de 0 ne change pas la situation de départ, c'est impossible !

 #14 - 31-03-2014 15:40:53

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Plus ou moins la mme chose

Que des bonnes réponses smile

Vasimolo

 #15 - 31-03-2014 21:12:07

fix33
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

Plus ou moins la même chos

Salut !
Si on simplifie, avec seulement 2 nombres, on voit facilement que pour une différence donnée il y a une infinité de couples de nombres. On pourrait montrer une récurrence.
A+


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #16 - 31-03-2014 21:41:12

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Plus ou moins la même cchose

Là tu n'as vraiment pas forcé Fix hmm

Vasimolo

 #17 - 31-03-2014 22:09:54

fix33
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

Plus ou moins la même chosse

Euh... Tu veux que je démontre la récurrence ? Ou que je trouve un contre-exemple ? Ou alors j'ai faux ?


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #18 - 31-03-2014 23:14:00

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

plus ou moins la lême chose

Appelons S la somme de tous les nombres inscrit.
Lorsque l'on fait l'opération sur a et b (en supposant a>=b), la somme devient S+a-b, donc S est croissante. Pour repasser par la situation initiale, il faut donc que S soit constante, donc que a=b à chaque étape.
Dans ce cas, l'opération crée un 0 et 2a, ce qui augmente le nombre de 0 inscrits au tableau, sauf si a=b=0.
Donc pour repasser par la position initiale il est nécessaire de ne choisir que des 0. Mais dans ce cas, on ne quittera pas la position initiale.

Donc la réponse est non.

 #19 - 01-04-2014 17:45:33

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

plud ou moins la même chose

Bravo à tous ceux qui ont trouvé smile

La solution est simple mais je trouve la méthode assez jolie .

Vasimolo

PS : @Fix , ça doit sûrement marcher à coup de récurrence dans le postérieur mais ça doit être plus compliqué ( et plus douloureux lollollol) .

 #20 - 01-04-2014 23:50:33

fix33
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

Plus ou moins la même cchose

En fait, c'est que je n'avais pas bien lu l'énoncé. Je n'avais pas vu qu'il était question de somme aussi... Du coup, ma réponse n'a aucun sens ! mad


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.
 

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