... prise de tête

Un exemple : que penser de cette affirmation ?

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que penser de cette affirmation

"il n'y a aucun problème à choisir au hasard un irrationnel dans l'intervalle [0;1], avec pour chaque nombre une probabilité égale !"

L'affirmation "il n'y a aucun problème à choisir au hasard un irrationnel dans l'intervalle [0;1], avec pour chaque nombre une probabilité égale" est problématique d'un point de vue mathématique, en particulier en théorie des probabilités. Voici une analyse concise :
Problème de la "probabilité égale" : L'ensemble des nombres irrationnels dans [0;1] est non dénombrable (il a la puissance du continu). Dans un espace de probabilité, attribuer une probabilité égale non nulle à chaque point d'un ensemble non dénombrable est impossible, car la somme des probabilités dépasserait 1 (violant la condition de normalisation d'une mesure de probabilité). Si la probabilité de chaque point est 0, alors la probabilité totale de l'ensemble reste 0, ce qui contredit le fait que l'ensemble des irrationnels a une mesure de 1 dans [0;1] (voir point suivant).

Mesure de Lebesgue : Dans l'intervalle [0;1], les irrationnels ont une mesure de Lebesgue de 1 (car les rationnels, dénombrables, ont une mesure de 0). On peut donc choisir un irrationnel "au hasard" avec une probabilité de 1 en utilisant la mesure de Lebesgue, mais cela ne signifie pas que chaque irrationnel individuel a une probabilité égale. La distribution uniforme sur [0;1] attribue des probabilités à des intervalles, pas à des points individuels.

Interprétation intuitive : L'idée de "choisir au hasard avec probabilité égale" est intuitive mais ne correspond pas à une construction mathématique rigoureuse pour un ensemble continu comme les irrationnels. Une distribution uniforme sur [0;1] est bien définie, mais elle ne donne pas une probabilité positive à chaque point spécifique.
Conclusion : L'affirmation est incorrecte ou mal formulée si elle suggère que chaque irrationnel a une probabilité égale non nulle. Il est possible de choisir un irrationnel au hasard dans [0;1] avec une distribution uniforme (via la mesure de Lebesgue), mais la notion de "probabilité égale pour chaque nombre" est incompatible avec la théorie des probabilités sur un ensemble non dénombrable.

Est-il possible de piocher un entier naturel au hasard dans N
? 

Théoriquement : Oui, mais pas avec une distribution uniforme. Une distribution non uniforme (comme une distribution géométrique) permet de définir une probabilité valide sur N
, rendant le tirage possible en théorie.

Pratiquement : Non, dans un cadre réel, car générer un entier naturel sans borne supérieure nécessite un processus infini, incompatible avec des ressources finies (comme un ordinateur). On peut simuler un tirage dans un sous-ensemble fini, mais cela ne couvre pas tout N
.

En résumé, en théorie des probabilités, un tirage est possible avec une distribution non uniforme, mais en pratique, piocher un entier naturel au hasard dans N
est irréalisable sans fixer une borne ou accepter une distribution biaisée.

Exemple de pratique possible
La méthode utilisant une distribution géométrique permet de simuler un tirage aléatoire dans N (programme en Python proposé par l'IS)
, mais elle est biaisée vers les petits entiers et peut être longue pour générer de grands entiers. En pratique, des ajustements (comme fixer une borne maximale ou utiliser des intervalles exponentiels) sont nécessaires pour rendre le tirage réalisable sur un ordinateur. Cette méthode illustre comment la théorie des probabilités sur des ensembles infinis peut être approximée dans un cadre pratique, bien qu’elle ne puisse jamais couvrir pleinement N sans biais.