Pourquoi il n'y aura jamais de 4? Voyons: chaque ligne comporte un nombre pair de chiffres: un numéral qui dit combien d'"objets" (l'autre chiffre)sont sur la ligne du dessus; donc , à supposer qu'un 4 survienne dans une ligne n, ce ne peut être qu'un numéral, premier élément d'un couple, par ex  41, 42  ou 43, indiquant que la ligne du dessus (n-1) comporte quatre  "1" de suite, par ex; or, ces qutre "1" devraient signifier que la ligne n-2 comporte un "1" et encore un "1", ce qui n'est pas possible car alors on aurait 41 sur la ligne n-1, etc... on peut remonter et démontrer que par récurrence c'est impossible; je m'y prend peut-être  mal, mais c'est une explication "en direct";

1121121

312211
13312221
1123113211
etc.

Eh attendez j'en ai une autre...

C'est la porte du paradis et la porte de l'enfer, et ya deux gardes et...

...comment ça ? Elle a déjà été postée ?

Faisons l'hypothèse qu'un 4 apparaisse sur une ligen. Ce 4 doit forcément avoir un caractère à sa droite. (seul le 1 fini les lignes). Supposons que cela soit un x. La ligne deux comporterai donc quatre x consécutifs.
[1]...............
[2]..axxxxb..
[3]....4x.......
Or on peut décomposer chaques lignes en couples, d'abors un quantifiant (qui définit qu'il y a autant de x) puis un quantifié (le chiffre qui se trouvait sur la ligne précédente). On peut donc lire la ligne [2] de deux façon: Soit a est quantifié (hypothèse 1) soit il est quantifiant (hypothèse 2).

Premier cas: a est quantifié; le découpage en couple se fait ainsi:
[2]..a xx xx b.. la ligne 1 serai donc: x en x exemplaires:
[1]... xxxxxx xxxxxx ...
         x fois      x fois
Or cela est impossible car on lirai la ligne [2]:
[2]... a(2x)xb
Ce qui n'est pas vrai donc l'hypothèse 1 est fausse.

Second cas: a est quantifiant; le découpage se fait ainsi:
[2]..ax xx xb..
La ligne [1]serai donc
x en a exemplaires puis x en x exemplaire puis b en x exemplaires:
[1]...xxxxxxx xxxxxxx bbbbbbb....
        a fois      x fois      b fois
Encore une fois la ligne [2] serai:
[2]...(a+x)x+xb...
Ce qui n'est pas vrai, donc hypothèse deux fausse.
Conclusion: dans tous les cas l'hypothèse est fausse. Donc il n'y a pas de 4 dans cette suite logique de chiffres. On montrerai la même chose pour tout nombre >4; chaque ligne est donc composée de 1 2 et 3 uniquement.

                                                                                               Shadock
Edit: excusez moi pour la démo de tout ce retard; Better late than never

Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué?