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Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

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 #1 - 21-04-2010 16:02:41

rugdy
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 7

équation 1/a+1/b+1/c+1/d=

Trouvez toutes les solutions de l'équation 1/a+1/b+1/c+1/d=1 ,avec a,b,c et d entiers.
Je vous donnerais des conseils au fur et à mesure.



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 #2 - 21-04-2010 17:56:27

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

équation 1/a+1/b+1/c+1/=1

Je me demande bien sous quelle forme tu attends quelque chose dans la case réponse !

Sinon, j'ai déjà ceci :
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/8 (+ différentes combinaisons)
1/3 + 1/3 + 1/6 + 1/6 (+ différentes combinaisons)
1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4


http://enigmusique.blogspot.com/

 #3 - 22-04-2010 08:05:44

schaff60
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 175

équation 1/a++1/b+1/c+1/d=1

a=b=3, c=d=6 par exemple

ou

a=b=1 c=d=-2

ou

a=b=c=d=4

puisque tu ne précises pas si a,b,c,d sont des entiers naturels différents, ce qui offre une infinité de solutions.

Sinon on peut développer 1/n  = 1/(n+1) +1/n(n+1)

1/1 = 1/2 + 1/2
1 = 1/2 + 1/3 + 1/6
1 = 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/42
ou
1 = 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/12

mais aussi :
1 = 1/2 + 1/3 + 1/8 + 1/24
1 = 1/2 + 1/4 + 1/5 + 1/20
1 = 1/2 + 1/3 + 1/9 + 1/18
1 = 1/2 + 1/3 + 1/10 + 1/15


Un truisme inepte, chamarré d'une phraséologie spécieuse, se diapre subséquemment des apparats d'un apophtegme

 #4 - 22-04-2010 08:43:19

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1768

équatuon 1/a+1/b+1/c+1/d=1

Bonjour

Une solution triviale : 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 1
Une autre solution : 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/12 = 1

> cf les énigmes "Héritage" ou il faut partager 11 objets(*) entre trois personnes à raison de 1/2 pour la première, 1/4 pour la deuxième et 1/6 pour la dernière, la répartition peut se faire en ajoutant temporairement un objet (11+1 = 12) pour faire le partage, objet qui n'est pas distribué.

(*) : chameaux, chevaux, voitures, ....


> Autres solutions obtenues par balayage à défaut d'une résolution plus élégante.

a, b,  c,  d
2, 3, 9, 18 (les 17 chameaux plus bas)
2, 3, 12, 12
2, 4, 5, 20
2, 4, 6, 12 (exemple ci-dessus)
2, 4, 8, 8
3, 3, 4, 12
4, 4, 4, 4
... ?

> en fait l'enoncé est équivalent à
d/a + d/b + d/c = d-1
(a,b,c,d entiers naturels)

donc pour partager (d-1) en trois proportions 1/a, 1/b et 1/c,
avec bien sûr (d-1) non divisible par a, ni par b ni par c,
on ajoute une unité extérieure à  d-1 soit d-1+1 = d, on effectue le partage, et on restitue cette unité à son propriétaire ...

Bonne journée


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #5 - 22-04-2010 13:36:14

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

équation 1/a+1/b+1/c+1/d=

Wolfram|Alpha me donne la solution (1;1;-2;-2), à laquelle je n'avais pas du tout pensé.

De mon côté, me cantonnant aux entiers positifs dans un premier temps, j'avais :

(2;3;12;12)
(2;4;8;8)
(3;3;6;6)

et quelques autres que je mettrai plus tard (j'ai une vidéo d'un discours de Krishnamurti à l'ONU qui m'attend pour l'instant lol)


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #6 - 22-04-2010 13:43:43

piode
Cacografe de Prise2Tete
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Messages : 1680
Lieu: Sur le dos d'une autruche

équation 1/a+1/b+1/c+1/d==1

équation 1/a+1/b+1/c+1/d=1

soit :a+b+c+d=1/1
soit:a+b+c+d=1 soit a+b+c+d+1=0
soit: a+b+c+d+1=0 et(a+b+c+d+1)-(a+b+c+d+1)=0-(a+b+c+d+1)
soit: 0=-a-b-c-d

xD ben c'est pas ça ^^


"Être une enzyme avec fonction hydrolyse, mais ne pas savoir comment si prendre ..."

 #7 - 22-04-2010 14:24:20

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1473

ééquation 1/a+1/b+1/c+1/d=1

J'avoue que je saisis pas bien:

-soit entier signifie "élément de Z". Dans ce cas, il y en a une infinité, démonstration:
soit k un entier > 0, alors 1/1 + 1 / k + 1/(-2k) + 1/(-2k) = 1, donc 1,k, -2k, -2k

-soit entier signifie "élément de N", dans ce cas on a 14 solutions en fixant arbitrairement a<=b<=c<=d (cf. ci dessous). En considérant que les permutations de a,b,c,d d'une solution donne une nouvelle solution, on a alors 24 solutions si les 4 valeurs sont distinctes, 12 si une valeur apparait 2 fois, 6 s'il s'agit de 2 paires de valeurs, 4 si une valeur apparait 3 fois, et 1 si a=b=c=d.
Au total 215 solutions. Seulement voilà, ni 14, ni 215, ni une  infinité ne sont des réponses acceptées par la boite de réponse...

a=2, b=3, c=7,  d=42
a=2, b=3, c=8,  d=24
a=2, b=3, c=9,  d=18
a=2, b=3, c=10, d=15
a=2, b=3, c=12, d=12
a=2, b=4, c=5,  d=20
a=2, b=4, c=6,  d=12
a=2, b=4, c=8,  d=8
a=2, b=5, c=5,  d=10
a=2, b=6, c=6,  d=6
a=3, b=3, c=4,  d=12
a=3, b=3, c=6,  d=6
a=3, b=4, c=4,  d=6
a=4, b=4, c=4,  d=4

 #8 - 22-04-2010 15:08:50

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3820
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

équatiion 1/a+1/b+1/c+1/d=1

Bonjour,
Je n'ai trouvé qu'une méthode empirique et dichotomique aboutissant à 14 solutions.
Supposons 1 < a ≤ b ≤ c ≤ d.
Alors 1/a + 1/b + 1/c + 1/d ≤ 4/a donc 1 ≤ 4/a donc a ≤ 4 (et a > 1). D'où 3 cas à analyser : a=4, a=3 et a=2.

1) a = 4
Alors 1/4 + 1/b + 1/c + 1/d = 1 ≤ 1/4 + 3/b donc 3/4 ≤ 3/b donc b ≤ 4.
Et comme b ≥ a, on voit que b=4. De la même façon c=4 et d=4.
Solution1 : 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 1

2) a = 3
Alors 1/3 + 1/b + 1/c + 1/d = 1 ≤ 1/3 + 3/b donc 2/3 ≤ 3/b donc b ≤ 9/2.
Et comme b ≥ a, on voit que b=4 ou b=3.

2a) b = 4
Alors 1/3 + 1/4 + 1/c + 1/d = 7/12 + 1/c + 1/d = 1 ≤ 7/12 + 2/c donc 5/12 ≤ 2/c donc c ≤ 24/5.
Et comme c ≥ b, on voit que c=4
Solution2 : 1/3 + 1/4 + 1/4 + 1/6 = 1

2b) b = 3
Alors 1/3 + 1/3 + 1/c + 1/d = 2/3 + 1/c + 1/d = 1 ≤ 2/3 + 2/c donc 1/3 ≤ 2/c donc c ≤ 6.
Et comme c ≥ b, on voit que c=3, c=4, c=5 ou c=6.
Solution3 : 1/3 + 1/3 + 1/4 + 1/12 = 1
Solution4 : 1/3 + 1/3 + 1/6 + 1/6 = 1

3) a = 2
Alors 1/2 + 1/b + 1/c + 1/d = 1 ≤ 1/2 + 3/b donc 1/2 ≤ 3/b donc b ≤ 6.
Et comme b ≥ a, on voit que b=6, b=5, b=4 ou b=3 (b=2 ne marche pas).

3a) b = 6
Alors 1/2 + 1/6 + 1/c + 1/d = 2/3 + 1/c + 1/d = 1 ≤ 2/3 + 2/c donc 1/3 ≤ 2/c donc c ≤ 6.
Et comme c ≥ b, on voit que c=6 et par suite que d=6.
Solution5 : 1/2 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1

3b) b = 5
Alors 1/2 + 1/5 + 1/c + 1/d = 7/10 + 1/c + 1/d = 1 ≤ 7/10 + 2/c donc 3/10 ≤ 2/c donc c ≤ 20/3.
Et comme c ≥ b, on voit que c=5 ou c=6.
Si c=5, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/5 - 1/5 = 1/10
Solution6 : 1/2 + 1/5 + 1/5 + 1/10 = 1
Si c= 6, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/5 - 1/6 = 4/30 = 2/15 non réductible

3c) b = 4
Alors 1/2 + 1/4 + 1/c + 1/d = 3/4 + 1/c + 1/d = 1 ≤ 3/4 + 2/c donc 1/4 ≤ 2/c donc c ≤ 8.
Et comme c ≥ b, on voit que c=8, c=7, c=6 ou c=5 (c=4 ne marche pas).
Si c=8, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/4 - 1/8 = 1/8
Solution7 : 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/8 = 1
Si c=7, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/4 - 1/7 = 3/28 non réductible
Si c=6, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/4 - 1/6 = 1/12
Solution8 : 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/12 = 1
Si c=5, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/4 - 1/5 = 1/20
Solution9 : 1/2 + 1/4 + 1/5 + 1/20 = 1

3d) b = 3
Alors 1/2 + 1/3 + 1/c + 1/d = 5/6 + 1/c + 1/d = 1 ≤ 5/6 + 2/c donc 1/6 ≤ 2/c donc c ≤ 12.
Et comme 1/2 + 1/3 + 1/c < 1 donc 1/c < 1/6 donc c > 6, on voit que c=12, c= 11, c=10, c= 9, c=8 ou c=7.
Si c=12, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/12 = 1/12
Solution10 : 1/2 + 1/3 + 1/12 + 1/12 = 1
Si c=11, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/11 = 5/66 non réductible
Si c=10, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/10 = 2/30 = 1/15
Solution11 : 1/2 + 1/3 + 1/10 + 1/15 = 1
Si c=9, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/9 = 1/18
Solution12 : 1/2 + 1/3 + 1/9 + 1/18 = 1
Si c=8, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/8 = 1/24
Solution13 : 1/2 + 1/3 + 1/8 + 1/24 = 1
Si c=7, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/7 = 1/42
Solution14 : 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/42 = 1

FIN de la démonstration *** ouf... ***


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #9 - 22-04-2010 16:11:56

vastefarceur
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 6
Messages : 1

équation 1/a+1/b+1/v+1/d=1

Salut,

Ma réponse est 11 solutions en jouant à inverser les valeurs des lettres entre elles:

A-B-C-D
4-4-4-4
2-6-6-6
6-2-6-6
6-6-2-6
6-6-6-2
3-3-6-6
3-6-3-6
3-6-6-3
6-3-3-6
6-3-6-3
6-6-3-3

Bon après midi big_smile

 #10 - 22-04-2010 16:41:57

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

équation 1/a+1/b+1/x+1/d=1

14 solutions:
2,3,7,42
2,3,8,24
2,3,9,18
2,3,10,15
2,3,12,12
2,4,5,20
2,4,6,12
2,4,8,8
2,5,5,10
2,6,6,6
3,3,4,12
3,3,6,6
3,4,4,6
4,4,4,4

Tout à la main, rien à l'ordi, j'espère ne pas en avoir oublié.
Début du raisonnement:
Si a,b,c, et d sont tous >4 la somme de leur inverse est < 4. 1/4 donc ne peut être égale à 1.
Donc l'un d'entre eux (choisissons que c'est a) ne peut valoir que 2, 3 ou 4 (1 évidemment exclu).
Pour chaque cas, on recommence, example a=2:
1/b+1/c+1/d=1/2
Si b, c et d tous > 6, la somme de leur inverse est < 3.1/6 donc ne peux être = 1/2.
Donc l'un d'entre eux est <= 6 (choisissons que c'est b).
Comme b ne peut valoir 2 (sinon comme a=2, 1/a+1/b=1 et donc la somme ne peut-être =1), b vaut 3, 4, 5 ou 6
Prenons le cas b=3: 1/c+1/d=1/6 <=> 6c+6d=cd (car c et d <>0) <=> c = 6 + 36/(d-6) (c'est la qu'est la ruse). Donc d-6 divise 36 donc d-6 vaut ... Ne pas oublier les négatifs (qui dans ce cas ne conviennent pas car alors c ou d sont négatifs: A NOTER QUE L'ENONCE NE L'EXCLUT PAS MAIS JE NE VAIS PAS TRAITER CES CAS). On en deduit les c et d possibles pour le cas a=2 et b=2.

On applique le meme raisonnement pour tous les autres cas.
Une petite ruse quand meme. Dans 2 cas la ruse ci-dessus ne fonctionne pas.
Par exemple a=2, b=5 qui donne 1/c+1/d=3/10.
Dans ce cas on a c=f(d)=10d/(3d-10) qui tend vers 10/3 par le haut donc on cherche d0 / f(d0)=4 (d0=20) et c'est la plus grande valeur à tester. Dans ce cas pour eliminer des tests on peut voir que 10/cd donc 5 divise c ou d, ...

Pour donner les réponses comme demandé par ordre croissant du plus grand de chaque cas:
4, 6, 8, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 42
La relation avec le probleme des 17 chameaux est qu'on peut poser le meme probleme avec chacune des valeurs ci-dessus diminuée de 1 et avec comme diviseurs les 3 autres nombres dans la meme solution:
Si on prend la solution: 2,3,7,42 on peux poser le probleme de la facon suivante:
41 chameaux: l'ainé en prend la moitié, le cadet le tiers et le benjamin le 7eme: on rajoute un chameau -> 42: La division donne: 21, 14 et 6 dont la somme fait 41 et on recupere le chameau qu'on avait rajouté.

Voila, voila....

 #11 - 22-04-2010 18:43:11

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 947

équation 1/a+1/b+1/c+1/d=

Wikipedia en anglais, article 215, a écrit:

There are 215 sequences of four integers, counting re-arrangements as distinct, such that the sum of their reciprocals is 1.[2]  These are
    * 24 arrangements of (2,3,7,42), (2,3,8,24), (2,3,9,18), (2,3,10,15), (2,4,5,20) and (2,4,6,12).
    * 12 arrangements of (3,3,4,12), (3,4,4,6), (2,3,12,12), (2,4,8,8) and (2,5,5,10).
    * 6 arrangements of (3,3,6,6).
    * 4 arrangements of (2,6,6,6).
    * 1 arrangement of (4,4,4,4).

Naturellement, pour la recherche, il vaut mieux classer a,b,c,d dans l'ordre croissant.
Puis on discute :

* a=4 : il faut b=c=d=4 cool

* a=3 : b<=9/2 puisque b est le plus petit des autres mais b>=3 car b>=a.
** b=4 : c=4 & d=6
** b=3 : c=4 & d=12
               ou c=d=6

* a=2 : on montre b<=6
** b=6 : c=d=6
** b=5 : c=4 & d=20
              ou c=5 & d=10
** b=4 : c=d=8
              ou c=6 & d=12
              ou c=5 & d=20
** b=3 : c=d=12
              ou c=10 & d=15
              ou c=9 & d=18
              ou c=8 & d=24
              ou c=7 & d=42

Avec des encadrements, on y arrive bien mais c'est trop long à mettre par écrit...


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #12 - 22-04-2010 19:27:43

rugdy
Amateur de Prise2Tete
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équation 1/a+1/b1+/c+1/d=1

J'ai oublié de préciser que ce sont tous des entiers naturels strictement positifs --

 #13 - 22-04-2010 19:30:49

rugdy
Amateur de Prise2Tete
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équaiton 1/a+1/b+1/c+1/d=1

et il faut commencer en prenant comme hypothèse a<=b<=c<=d

 #14 - 22-04-2010 19:37:51

rugdy
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
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équatino 1/a+1/b+1/c+1/d=1

les réponses a inscrire sont les valeurs de d trouvées par ordre croissant (avec a<=b<=c<=d),séparées par des virgules

 #15 - 22-04-2010 19:38:07

rugdy
Amateur de Prise2Tete
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Messages : 7

équation 1/a+11/b+1/c+1/d=1

j'aurais du le dire plus tot --

 #16 - 22-04-2010 19:41:20

rugdy
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 7

éqaution 1/a+1/b+1/c+1/d=1

ce problème est une généralisation de celui-ci:

Les 17 chameaux

Un vieil homme, à l'approche de sa mort, décide de partager son troupeau de 17 chameaux entre ses trois fils. L'aîné héritera de la moitié du troupeau, le cadet du tiers et le benjamin du neuvième. Confrontés à l'indivisibilité de 17 par 2, 3 et 9, les trois frères vont trouver le sage du village. Celui-ci, fin mathématicien, leur propose une solution qui, sans avoir recours à une boucherie, respecte les volontés du vieil homme.

Comment le sage s'y prent-il pour effectuer le partage ?

 #17 - 23-04-2010 03:19:26

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3003
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

équation 1/a+1/b+1/x+1/d=1

A la main, je trouve ca:
1/2 + 1/3 + 1/12 + 1/12
1/2 + 1/3 + 1/9 + 1/18
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/8
1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/12
1/2 + 1/5 + 1/5 + 1/10
1/2 + 1/6 + 1/6 + 1/6
1/3 + 1/3 + 1/6 + 1/6
1/3 + 1/4 + 1/4 + 1/6
1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4
j'en ai probablement manqué une partie.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #18 - 23-04-2010 16:01:02

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3330

équation 1/a+1/b+1/x+1/d=1

Bonjour après 17 secondes de réflection voici ma réponse :
[TeX]\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{24}=1[/TeX]
wink Niveau 5ème mais toute personne ayant la base du calcul arithmétique en est capable! smilecool


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #19 - 24-04-2010 15:57:15

XXX
Visiteur

équation 1/a+1/b+1/c+1/d==1

Pour l'énigme des chameaux :
+ 1 chameau (celui du vieil homme)
on partage
reste 1 chameau (celui de l'homme)
Par contre pour l'algèbre je sais pas

 #20 - 24-04-2010 18:31:17

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

équatiin 1/a+1/b+1/c+1/d=1

On a donc au moins 14 solutions distinctes... Joli score smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #21 - 25-04-2010 17:08:35

rugdy
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 7

équation 1/a+1/b+1/c+1/d1=

Il y a 14 solutions uniques pour cette équation.
Félicitation a rivas,krimlod et scarta pour avoir trouvé

 #22 - 22-10-2014 12:31:24

nemo
Visiteur

éqaution 1/a+1/b+1/c+1/d=1

comment on fait si on a
5/n = 1/a + 1/b + 1/c

si n = 5
si n = 17

 #23 - 24-05-2015 09:43:31

Makila
Visiteur

équation 1/a+1/b+1/c+1/d1

rugdy a écrit:

ce problème est une généralisation de celui-ci:

Les 17 chameaux

Un vieil homme, à l'approche de sa mort, décide de partager son troupeau de 17 chameaux entre ses trois fils. L'aîné héritera de la moitié du troupeau, le cadet du tiers et le benjamin du neuvième. Confrontés à l'indivisibilité de 17 par 2, 3 et 9, les trois frères vont trouver le sage du village. Celui-ci, fin mathématicien, leur propose une solution qui, sans avoir recours à une boucherie, respecte les volontés du vieil homme.

Comment le sage s'y prent-il pour effectuer le partage ?

Bonjour,

Je donne 5 chameaux à chacun des fils, ce qui fait quinze. Les deux derniers chameaux je les vends et partage l'argent de la vente entre les trois frères.

POURQUOI SE PRENDRE LA TETE?

 

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Dans une course, vous doublez le 42ème, en quelle position êtes-vous ?

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1/a+1/b+1/c+1/d=1 (346) — 1/a+1/b=1 (111) — 1/a+1/b+1/c=1 (80) — 1=1/a+1/b+1/c+1/d (77) — A+b+c=1 (69) — 1/a + 1/b (51) — 1/a + 1/b + 1/c + 1/d = 1 (44) — 1/a+1/b+1/c (36) — 1/a+1/b (32) — Trouver si possible deux entiers positifs distincts a et b tels que 1 = 1/a+1/b (28) — 1/a + 1/b + 1/c = 1 (26) — 1=1/a+1/b (25) — 1=1/a+1/b+1/c (22) — 1/a + 1/b + 1/c (20) — 1/a+b (20) — (a+b+c)(1/a+1/b+1/c) (19) — A+b=4 ab=1 (17) — 1/a+1/b+1/c+1/d+1/e=1 (17) — 1/a + 1/b = 1 (16) — A+b+c+d=1 (15) — (a+b+c)(1/a+1/b+1/c) =9 (13) — 1/a+1/b=1/c (13) — 1/a-1/b (12) — 1/a +1/b=1 (12) — 1/a - 1/b (11) — A+b+c=1/a+1/b+1/c (11) — 1/(a+b) (10) — Trouver deux nombres entiers relatifs a et b tels que a/3+b/5=1/15 (10) — 1=1:a+1:b (9) — 1/a +1/b (9) — 1 = 1/a + 1/b (9) — 1=(1/a)+(1/b) (8) — Trouver si possible deux entiers positifs distincts a et b tels que (8) — A+1/b=b+1/c=c+1/a (8) — 1/a+1/b=1? 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(4) — A=b=1 (4) — Resoudre 1/a 1/b 1/c 1/d (4) — 1 1 a 1 b solution (4) — 1/a+1/b+1/c =9/(a+b+c) (4) — Trouver si possible quatre entiers positifs distincts a et b tels que (4) — A=b 1=2 (4) — Equation 1 = 2 (4) — 1/a+1/b=1/a+b (3) — 1/a +1/b =1 (3) — Trouver si possible trois entiers positifs distincts a et b tels que 1 = 1/a+1/b+1/c (3) — 1/a+1/b+1/c+1/d egal a1 (3) — 1/a + 1/b + 1/c = 1 a b et c differents possible ? (3) — A+b+c+1/a+1/b+1/c>=6 (3) — Deux entiers positifs distincts (3) — A+b=4 et ab=1 (3) — 1=1/a+1/b+1/c+1/d ? (3) — (a/1+a)<(b/1+b)+(c/1+c) (3) — Motrer que 1/a+1/b+1/c+1/d 16 (3) — A/b + b/c + c/d + d/a ? 4 (3) — (a-1) ( b-1 ) (3) — A=1 b=1 1=2 (3) — 1/a 1/b 1/c 1/d =1 (3) — 1/a < 1/b (3) — Enigme 1b (3) — *b/1 *1(- (3) — 1/a 1/b 1/c 1/d=1 (3) — 1/a+1/b+1/c=1/a+b+c (3) — Comment trouver les solutions de 1/a+1/b+1/c+1/d=1 (3) — Resoudre equation 1/a+1/b=1/2 (3) — A-1+b-1+c-1=1 demonstration (3) — Positif distinct (3) — Decoder le mot ci-dessous en utilisant le code suivant: 1/1=a 1/2=b 1/3=c... (3) — 1/a+b +1/b+c +1/a+c (3) — 1 / a + 1/ b = 1 (3) — Mathfacile.com 1b (3) — A+b+c=1 montrer que (3) — Cherche les entier abcde telque 1/a 1/b 1/c 1/d 1/e =1 (3) — A = 1/a (3) — Des entiers positifs distincts a et b (3) — A/b + b/c + c/a > 3 (3) — Entiers positifs distinct de a et b (3) — Un vieil homme a l approche de sa mort decide de partager son troupeau de 17 chameaux entre ses trois fils. l aine heritera de la moitie du troupeau le cadet du tiers et le benjamin du neuvieme. confrontes a l in...divisibilite de 17 par 2 3 et 9 les trois freres vont trouver le sage du village. celui-ci fin mathematicien leur propose une solution qui sans avoir recours a une boucherie respecte les volontes du vieil homme. (3) — (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=9 (3) — (1/a + 1/b + 1/c + 1/d + 1/e) = 1 (3) — 1/b-1/a=a-b/ab (3) — 1/a 1/b (3) — 1/a+1/b+1/c > 9/(a+b+c) (3) — 1/ab (3) — 1/(a+b+c) (3) — A*b=1-a/b (3) — 1/a + 1/b =1 (3) — Est ce possible de trouver deux entiers a et b distincts tels que (3) — A^2+b^2+c^2=1 (3) — A+b+c 1 a+1 b+1 c (3) — 1/a+1/b+1/c=? (3) — Demontrer (a+b)/( a2 + b2)+(b+c)/( b2 + c2)+(a+c)/( c2 + 2)? 1/a+ 1/b+ 1/c (3) — (1+1/a)(1+1/b) a+b=1 (3) — Enigme decoder le mot ci dessous 1/1-a (3) — Des entiers telque 1/a 1/b 1/c 1/d=1 (3) — Trouver 4 entiers positif distinct (3) — 1:a + 1:b + 1:c = (3) — Trouver a b c et d tel que 1/a+1/b+1/c+1/d=1 (3) — A=1/2+(-1/3)+1/4 (3) — A=1 b=2 c=3 (3) — A+b/1+1/a+b (3) — A+b+c=1;-1/4<a (3) — Resoudre1/n-1/n-1 (3) — 1/a+1/b=1 a resoudre (3) — 1/a+1/b+1/c+1/d+1/e (3) — Demontrer que :1/a+1/b+1/c<a^8+b^8+c^8/a^3b^3c^3 (3) — Trouver si possible deux entiers positifs distincts a et b (3) — 1/a+1/b+1/c+1/d=1/abc (3) — Resoudre 1=1/a+1/b (3) — A + 1/a (3) — On a (a+b=4) montre que (a*b<4) (3) — 1/a+1/b=1 peut on avoir a=1 (3) — A=1+b et (3) — 1/a + 1/b + 1/c = 1 solution (3) — Montrer que (a+b)(1/a+1/b)>4 (3) — 1 a 2 b 3 c (3) — A+b+c=1 montrer (3) — Quel sont les entiers naturels abcd tel que 1/a+1/b+1/c+1/d=1 (3) — 4/n = 1/a + 1/b + 1/c solution (3) — Trouver si possible deux entiers positifs distincts a et b tel que (3) — Resoudre 1/a+1/b+1/c (3) — 1/3+1/7+1/42 (3) — 1/a + 1/b = 1/a+b ? (3) — (a+b+c)*(1/a+1/b+1/c) (3) — 1/a +1/b = 1/c (3) — A+b+c+d=1 1/a (3) — 1/a+1/b+1/c = 1 (3) — Comment trouver quatre entier positifs distincts a b c tels que 1= 1/a + 1/b + 1/c + 1/d (3) — Equation 1+1=1 (3) — (a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)<1 (3) — A=1 b=2 a=b (3) — (a+1)(b+1)(c+1)=8 ??? ??? (3) — 1+1/(1+a)+1/(1+2a) (3) — Si a+1/a=b+1/c=c+1/a montre que (abc-1)(abc+1)=0 (3) — 1/a + 1/b + 1/c + 1/d (3) — (1+1/a)(1+1/b)(1+1/c) (3) — A/b + b/c + c/d + d/a >= 4 (3) — (1+1/a)*(1+1/b)*(1+1/c) (3) — Resolution de 1/(a-b)(a-c)+1/(b-a)(b-c)+1/(c-a)(c-b)=0 (3) — 1 * a * b reponse (2) — 1 =1/a + 1/b different (2) — A+b+c 1 (2) — 1/a+1/b=1 solution (2) — 1/((1/a)+(1/b)) (2) — 5/n = 1/a+1/b+1/c (2) — 1/a + 1/b + 1/c = 1/2 (2) — 1/(a-b) (2) — 1/a + 1/b + 1/c + 1/d + 1/e = 1 (2) — A(1;-1) b(-1;-2) et c(-2;2) (2) — 1 egal 1/a+1/b+1/c+1/d (2) — Trouver si possible trois entiers positifs distincts ab et c tel que: 1=1/a+1/b+ (2) — Solution 1=1/a+1/b+1/c+1/d (2) — A/b + b/c+c/d+d/a >= 4 (2) — (a-b)^(1/2) (2) — 1/a +1/b + 1/c = 1 (2) — Trouver 2 entiers positif distincts a et b tels que:1/a+1/b=1 (2) — A + b + c = 1 (2) — Montrer que a*(1-b)<(1/4) (2) — Abcd 2 a 2 distinct (2) — 1/a + 1/b + 1/c +1/d= 1 (2) — 2 entiers positif distinct a et b tel que 1=1/a+1/b (2) — A-b+c=1 (2) — Resoudre 1/a + 1/b (2) — A-1-(b-1) (2) — 5/9= 1/ a+ 1/b+1/c (2) — (a+b+c)^4 (2) — A b c et d distinct 2a2 (2) — 1/a + 1/b + 1/c = 4/5 (2) — A=1 b=1 1=1 (2) — Ab+bc+ca=1 (2) — Demontrer que ((a+b+c)/3)^3 >= abc (2) — Montrer que 1/a >1/b (2) — Trouver a si (i+2a)-1 = (2) — 1/a + 1/b + 1/c + 1/d = 1? (2) — (a+b)2 (2) — Montrer que 1/a+b<1/a+1/b (2) — (1+a)(1+b)(1+c)-1 (2) — 1/a +1/b +1/c + 1/d = 1 (2) — 1/a+1/b+1/c+1/d+1/e=1 ? (2) — 1=1/a+1/b+a/c (2) — (a+b)+c (2) — (a^b)^(1/b) (2) — Trouver 4 entiers distincts (2) — Trouver si possible trois entiers positifs distincts ab et c tels que:1=1/a+1/b+1/c (2) — 1/a +1/b+1/c+1/d= 1 (2) — Maths 1= 1/a+1/b+1/c (2) — Resoudre 1 = 1/a+1/b (2) — A=-1+2i b=1+3i c=4i (2) — (1/a) - (1/b) (2) — A b 1 enigme (2) — 1+a/1+b (2) — Montre que a^2+1/b +b (2) — Montrer que a/1+bc (2) — Trouver cinq entiers naturels abcd et e distincts tels que 1/a+1/b+1/c+1/d+1/e=1 (2) — 1/a-1/b solution (2) — Quatre entiers naturels ab c ddistincts egal 1 (2) — (2/1+a)+(1-1/a)/(1+1/a) (2) — Calculer le pourcentage d un heritage 1/6 1/12 1/24 (2) — 1/a + 1/b +1/c = 1 (2) — 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 = 1/4 (2) — Equation 1=-1 (2) — A+b=c-5 ; a+a=4+c; b+b+b=6 (2) — On a a+b 4 montrer que a b 4 solution (2) — 1=a+b+c (2) — 1 1 a+1 b+1 c (2) — Equation 1/2+1/3+1/4+1/5 (2) — 24 b dans une c (2) — Ab<1/2 a2+b2=1 (2) — A=1+1/2 b=1+1/(1/2) (2) — Ab=c(b+1) (2) — Trouver quatres entiers positifs distincts abcd tels que 1 (2) — (1/a+1/b+1/c) (2) — B= (a-1/a) / (1+1/a) (2) — Resoudre a-1/a-b=1/a+b (2) — 1=1/a+1/b reponse (2) — 1%2fa%2b1%2fb%2b1%2fab%3d1%2f2 (2) — A/b = a*1/b (2) — Resoudre a/b=1/3 et c/d=9/16 (2) — A+b+c/1=1 (2) — 1/a+1/b= (2) — 1/a +1/b+1/c (2) — A= 1/a +1/b (2) — (2) — Demontrer a et b tels que a+b=4 et ab=1 (2) — 1/1/a+1/b (2) — Equation 1=1/a+1/b+1/c (2) — (b-3)(2b+6)=0 (2) — A/b+c/d=1-a/b*c/d (2) — Abcd=1 (2) — Montrer que a/(1+a) <b/(1+b) + c/(1+c) sachant qu a < b+c (2) — Enigme logique avec solution 2+3=3d10 (2) — A+b+c=1 => (2) — 1/a + 1/b +1/c =1 (2) — A^2 + b^2 = c^2 solve for b (2) — Prouver que 1<|1+a|+|a+b|+|b+c|+|c| (2) — A(1;-1) b(-1;-2) c(-2;2) (2) — Solution de 1/a+1/b=1 (2) — 1 = 1/a + 1/b + 1/c + 1/d + 1/e (2) — A + b +c (2) — Quatres entiers positifs distincts tel que 1= 1/a+1/b+1/c+1/d (2) — 1/b+1/b=1 si a=1 (2) — 1/a+1/b+1/c+1/d + 1/e (2) — A/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)>=3/2 (2) — A/(b )+b/c+c/d+d/a?4 (2) — (a/b)*(c/d) (2) — 1/(1/a+1/b) (2) — A.b.c=1 et a+b+c=1/a + 1/b + 1/c (2) — Trouver quatre entiers naturels a bc d (2) — Equation a+b+1=a+b (2) — Comment resoudre cette equation a+b=5a-4b+1 (2) — 1a 2b 3c (2) — 1/a+1/b+1/c+1/d 16 (2) — A=b-1/b+1 (2) — Ab+bc+ac=1 (2) — (a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a) (2) — Trouver si possible deux entiers positifs distincts a et b tels que: 1= 1/a + 1/b (2) — A/b+b/c+c/d+d/a>4 (2) — 1/a +1/b +1/c +1/d =1 ? (2) — Trouver deux entiers positifs distincts tels que 1/a + 1/b = 1 (2) — 1=1/a+1/b+1/c+1/d enigme (2) — Trouver a b c d e tel que 1/a+1/b+1/c+1/d 1/e=1 (2) — (2) — (a-1+1/b) (b-1+1/c) (c-1+1/c) (2) — Trouver si possible deux entiers positif distinct aet b tels que 1=1/a+1/b+1/c (2) — (ab)?1 = b?1 a?1 (2) — A 1 b 1 enigme (2) — A (12) b ( ) ab= (2) — A+b+c=1 complexes |a|=|b|=|c|=1 (2) — 1 1/a+1/b (2) — A+1 b b+1 c c+1 a (2) — Resoudre 25a (4a+3+2b) (2) — Entier positif distincts a et b tel que 1=1/a +1/b (2) — 1/a+1/b+1/c=9(a+b+c) (2) — 6-c d2!1) (2) — (2) — A + b + c + 1/a+ 1/b + 1/c (2) — Trouver quatre entier positifs distincts abcd tels (2) — Demonstration 1=1/a+1/b+1/c+1/d (2) — 1/b + 1/b + 1/c = 1 (2) — 1/b+1=16 equation (2) — Resoudre l equation 1/a+1/b+1/c (2) — Quels sont les nombres a b tel que b different de a et a^2=b^2 et a^3=b^3 (2) — Maths 1:a-1:b (2) — (a+b)^-1 (2) — Trouver trois nombres positifs distincts ab et c tels quz (2) — (ab)^-1 = b^-1a^-1 (2) — Math 1=1/a + 1/b (2) — 1 1 1 = 6 (2) — Www.a.b.h (2) — Quatre nombre abcd sont tels que a+b < c+d (2) — 1/(a^-1 + b^-1) (2) — A/b=c/d=(a+c)/(b+d) (2) — Deux entier positifs distincs a et b (2) — Resoudre a2+b2+c2=a*b*c (2) — 1/a + 1/b + 1/c + 1/d = 1 (2) — Trouver quatre nombre entiers relatifs abc et d tels que a/3+ b/5=1/15 (2) — Ab et c sont trois nombres tel que : a/b=1/2 et c/a=4/3 . calculer b/c (2) — Trouver deux entier tels que 1/a +1/b est egale 1 1 (2) — 1/( a+b )< (1/a) +(1/b) (2) — Trouver si possible deux nombres entiers positifs distincts a et b tel que (2) — Montrer que ((c(a-c))^1/2 + (c(b-c))^1/2 < (ab)^1/2 (2) — A+b+c grand que 1/a+1/b+1/c (2) — (1-a)(1-b)(1-c) (2) — A/3 + b/5 = 1/15 (2) — Solution (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=9 (2) — Entiers positifs distincts a b c et d tel que 1 = a/b+1/b+1/c+1/d (2) — A/1 + 1/a (2) — Trouver si possible 3 entiers positifs distincts a b et c tel que 1=1/a+1/b+1/c (2) — A = 1 b = 1 (2) — A+1 (2) — Trouver si possible deux entiers positifs distincts a et b tels que: (2) — Comment trouver que a sur ab + a+1 +b sur bc+b+1 + c sur ca + (2) — 1/a + 1/b = 1/2 (2) — Probleme avec 1-a/b (2) — (a+b+c+d)^4 (2) — 1=1:a=1:b (2) — 1 = 1/a + 1/b + 1/c (2) — Resoudre 1+1/1+1/1+1/1... (2) — (2) — Trouver trois nombres entiers naturels a b c distincts ou non tels que : 1 4 = 1 a2 + 1 b2 + 1 c2 (2) — Determiner les entiers a et b tels que n = a * 10^6 + b (2) — Trouver 4 entier naturel abcde tels que 1/a+1/b+1/c+1/d+1/e=1 (2) — Solution equation 1=1/a+1/b+1/c (2) — Math a^2+b^2+c^2=1 que vault a^4+(ab+c)^2+(ac-b^2) (2) — 1 a 1 b 1 c 1 (2) — A-1/a/1+1/a (2) — Resoudre a^4 +b^3+c^2+d=0 (2) — Trouver nombre tels que 1 = 1/a (2) — 1/a=1/b=1 (2) — A+b=1 equation (2) — Enigmes 1c (2) — Comment passer de 1/a+1/b+1/c=1 a 1/a+1/b+1/c+1/d=1 ? (2) — A/(ab+a+1) +b/(bc+b+1) + c/(ca+c+1) = 1 (2) — Solution de l equation 1/a+1/b+1/c=1 (2) — Deux entier positifs distincts a et b (2) — A+b =1 (2) — Demontrer que 1/a plus grand que 1/b (2) — Resolution de 1/(a-b)(a-c)+1/(b-a)(b-c)+1/(c-a)(c-b) (2) — A*b*b^-1*a^-1 (2) — Trouver deux entiers naturels distincts a et b tels que 1/a+1/b=1/2 (2) — (a+b+c)*((1/a)+(1/b)+(1/c)) (2) — Calcul de a/3+b/5=1/15 (2) — 1/a = 1/b (2) — 1:a + 1:b + a:c = 1 (2) — A=5 b=3 c=-2 d=1 (2) — (a-b)^1/2 (2) — (4a+6b-c)+(2a-4b+3c)-(a+2b-3c) (2) — Trouver la solution de b^ -4ac dans la langage c (2) — (a+b+c)*(1/a +1/b 1/c)< 9 (2) — (1/a+1/b)/(1/a-1/b) (2) — Soit 1/a + 1/b + 1/c = 1 (2) — 1/a^2+1/b^2+1/c^2=1/4 (2) — (ab-1) (bc-1) (ac (2) — Logique pour 1/a+1/b+1/c+1/d+...=1 (2) — A+b+c+1/abc>1/a+1/b+1/c+abc (2) — A/(bc+1) (2) — 1/a+1/b+1/c=1/4 (2) — (2) — Comment trouver les solutions de 1/a+1/b+1/c+1/d=1 avec a b c d sont differents (2) — (a+b+c)(1/a+1/b+1/c) =10 (2) — 1/a + 1/b + 1/c=1 (2) — Solution a=1/a-1/b (2) — A 1 a (2) — 1 sur a + 1 sur b + 1 sur c (2) — 1/a+1/b =1 avec a et b distincts (2) — Que representent b et c lorsque a=1 (2) — A(2;4;-1) b(312) c(1;0;1) d(3;2;1) et e(1;2;0) (2) — Abc=1 (2) — 1/a+1/b-1/c=1/abc (2) — A (1-b) b(1-c) c(1-a) <1/4 (2) — Trouver quatre entiers distincts abcd tels que 1=1/a + 1/b + 1/c + 1/d (2) — (d*3b4) enigme (2) — Ac-1; b= 2; c=3 calculer a=2a(b-c) (2) — A>1 ou a=1 et b>1 (2) — Trouver abcd tel que 1/a+1/b+1/c+1/d=1 (2) — (2) — A+b+c=a*b*c (2) — 1/a +1/b +1/c +1/d=1 (2) — (a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)<=1 (2) — (a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a) < 1 (2) — Jeux de rugdy (2) — A.b+a (a+b).a (2) — A(2;4;-1) b(312) c(10;1) d(3;2;1) et e(1;2;0) (2) — A*b*c*d=1montrer que=1 (2) — Entier naturel tel que 1=1/a+1/b (2) — ((a-b)/c +(b-c)/a+(c-a)/b)(c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a)) calculer (2) — 1/b/c (2) — 1/a+1/b+1/c >= a^8+b^8+c^8 (2) — 4 entiers naturel a b c et d tel que 1/a + 1/b + 1/c + 1/d =1 (2) — 1:a + 1:b (2) — Resoudre (a+b)*(b+c) (2) — 1<a/a+b+c+b/b+a+d+c/c+a+d+d/ (2) — Deux nombres entiers positifs distinct a et b tel que : 1/a+1/b=1 (2) — Que vaut 1/3^8+1/3^9 (2) — 1/a > 1/b (2) — 1/4 = 1/a + 1/b + 1/c (2) — Resoudre 1/a +1/ b +1/c+1/d+1/e =1 (2) — 1/a/b+c (2) — Coment trouver 4 entiers positifs distinct abcd tel que 1= 1/a 1/b 1/c 1/d (2) — A.1=a (2) — Comment calculer equation 1/3+1/4 (2) — Montrer que: (1/a+1/b+1/c)<((a^8*b^8*c^8)/(a^3*b^3*c^3)) (2) — Trouver si possible 4 entiers positif distinct (2) — (1+1/a)(1+1/b)>9 (2) — 1/3=1/a+1/b (2) — Trouver si possible deux entiers positifs distincts a et b tel que : 1=1/a+1/b (2) — Calcul 1/a+1/b (2) — Equation 1/-2+1/5 (2) — La suite a^n-1b a^n-2b^2 ... a^1b^n-1b^b (2) — Trouver si possible deux entiers positifs distincts a et b tels que 1 = 1/a+1/1+/1+c+1/d (2) — 1/a + 1/b + 1/c = 1 possible ? (2) — A-1=1/a (2) — Deux entiers naturels 1/a +1/b = 1 (2) — Verifier que a>=2 tel que 1=1/a+1/b+1/c (2) — Trouver un nombre entier tel que 1/a+1/b+1/c=1 (2) — 1/a +1/b=1/c (2) — Peux t on trouver 2 entiers a et b positifs distincs (2) — Montrer que( a+1/b )(b+1/c)(c+1/a)>8 (2) — A/(ab+a+1)+b/(bc+b+1)+c/(ca+c+1) (2) — Abc > 1 et a+b+c< 1/a+1/b+1/c (2) — A/b + b/c + c/d + d/a >4 (2) — Abc sont des nombres tel que b/a=2 et c/b=3 combien vaut a+b/b+c (2) — (a 1/b)(b 1/a)>4 (2) — 1/a et 1/b (2) — 1d1 b (2) — |1 + a| + |a + b| + |b+c| + |c| (2) — (a+1)/(a-1)=(b+1)/(b-1) (2) — Expliquer pourquoi on a a+c< b+d (2) — A+b ? 1 (2) — A(-123) b(41-2) = (-14-116) (2) — Inegalites classiques(a+b)/(a^2+b^2)<1/a (2) —

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