Si je veux brouiller N lettres, j'aurai N! façons de le faire. Pourquoi ? Parce que, pour cela, je choisirai quelle lettre remplacera la première (parmi N possibles), puis je choisirai quelle lettre remplace la deuxième (parmi les N-1 qui me restent), puis la troisième (parmi les N-2 restantes), etc. J'ai donc N possibilités pour la première lettre ; quelle que soit la première lettre choisie, j'ai N-1 possibilités pour la deuxième ; etc. donc j'ai N(N-1)(N-2)...*3*2*1 possibilités en tout, soit N! façons différentes de mélanger mes N lettres.
Maintenant, je range ces N! mélanges par ordre alphabétique pour leur donner à chacun un numéro unique. C'est ce qu'a fait Barbabulle dans son exemple à trois lettres :
1 abc
2 acb
3 bac
4 bca
5 cab
6 cba
Si je choisis la lettre A comme étant la première lettre, il me reste 2! possibilités pour les deux autres ; donc les 2! premiers mélanges commenceront par A. De la même façon, les 2! mélanges suivants commencent par B, et les 2! mélanges suivants par C.
Faisons ça avec 26 lettres, maintenant. De la même façon, si je choisis A comme étant la première lettre, j'obtiens que les 25! premiers mélanges commencent par A ; puis les 25! suivants commencent par B, les 25! encore après par C, etc.
Dans l'exemple traité dans l'énigme, le fait que H soit la première lettre fait qu'on commence après les 7*25! premiers mélanges (25! qui commencent par A, 25! qui commencent par B, 25! par C, etc. et comme H est la huitième lettre de l'alphabet, on saute les 7*25! premiers mélanges).
Une fois qu'on a sauté les 7*25! premiers mélanges, faisons "comme si" on les supprimait : on sait que les 25! qui suivent sont tous ceux qui commencent par un H. Dans ceux-ci, rebelote : les 24! premiers commencent par HA, les 24! suivants par HB, puis 24! par HC, 24! par HD, etc. Vu que celui dont on cherche le numéro commence par HZ, on saute les 24! en HA, les 24! en HB, etc., et vu que HZ est le 25ième (et non pas le 26ième, puisque HH n'existe pas), on doit en sauter 24, donc on "zappe" les 24*24! premiers dans ce qui nous reste.
Le mélange que l'on cherche est donc au rang 7*25!+24*24!+... on itère le processus jusqu'à trouver le rang exact.
Ca va mieux ? 
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