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 #1 - 24-12-2010 18:04:57

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3321

Dérivé ede |x|

Pendant les vacances le prof de maths nous a demandé d'apprendre le tableau des fonctions de références ainsi que leur dérivée.
(Nous avons pas encore vu ce qu'était vraiment une dérivée, on en est qu'aux nombre dérivé en un point et à la tangente à une courbe) bref....

A mon plus grand étonnement il n'y a pas dans le tableau la fonction valeur absolue de x, j'ai recherché sur internet et la seul chose que j'ai trouvé c'est que la fonction |x| n'est pas dérivable en zéro, mais alors qu'elle est la fonction dérivée de |x|? yikes



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 #2 - 24-12-2010 18:16:40

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,516E+3

Dérivée e |x|

La dérivée d'une valeur absolue serait -1 pour X<0 et +1 pour X> 0. Au point de discontinuité, il ne peut y avoir de valeur.

Dans l'absolu, la meilleure manière d'exprimer cette dérivée est : lXl / X mais il parait que ça gène dans les combinaisons de dérivées. Mais on voit bien que x=0 est exclu.

 #3 - 24-12-2010 19:11:16

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3791
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

érivée de |x|

@Gwen : il n'y a pas de point de discontinuité. En fait, la fonction valeur absolue est continue mais non dérivable en 0.
En outre, |Xl / X présente l'inconvénient d'être indéterminée en 0.

@Shadock : la fonction f(x) = |x| s'exprime de la manière suivante :
f(x) = -x sur le segment ]-infini, 0[
f(x) = +x sur le segment [0, +infini[
La dérivée s'exprime donc de la manière suivante :
f'(x) = -1 sur le segment ]-infini, 0[
f'(x) = +1 sur le segment ]0, +infini[
La dérivée n'existe pas en 0.

Klim.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #4 - 24-12-2010 19:15:45

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3321

Déivée de |x|

Merci, donc la fonction dérivée de la valeur absolue se définirai comme étant le signe de x :
signe de x = -1 si x<0
signe de x = 1 si x>0 si j'ai compris.


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 #5 - 24-12-2010 19:28:56

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Dérivée dde |x|

Tout simplement parce que la fonction valeur absolue est -x sur ]-inf ; 0[ et x sur ]0 ; +inf[. D'où la dérivée valant -1 sur tout intervalle inclus dans ]-inf ; 0[ et 1 sur tout intervalle inclus dans ]0 ; +inf[

La fonction "signe de" doit avoir une valeur en 0 par convention. A vérifier...


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 #6 - 24-12-2010 19:40:16

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,516E+3

déribée de |x|

Klimrod a écrit:

@Gwen : il n'y a pas de point de discontinuité. ...

Klim.

Je ne parlais pas de la fonction ( désolé si je me suis mal exprimé )  mais de sa dérivée qui connait un "saut de valeur" en ce point
Pour la fonction, c'est l'angle de la courbe qui empêche l'expression d'une dérivée vu que cet angle interdit la détermination d'une tangente , et donc, de sa pente.

 #7 - 25-12-2010 11:31:39

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

dérivér de |x|

POur être tout à fait précis:
la fonction f(x) = |x| s'exprime de la manière suivante :
f(x) = -x sur le segment ]-infini, 0[
f(x) = +x sur le segment [0, +infini[
f(0) = 0
Sinon il manque le point 0.

|x| est définie sur R, continue sur R (la limite à droite et à gauche en 0 est la même et est aussi la valeur de f(0)) et dérivable sur R* (et même [latex]C^\infty[/latex] sur R*)

A noter que la discussion sur les nombres (dans Hotel de l'infini) s'applique aussi aux fonctions: on est "formaté" à penser fonction en tant que formule donnant les valeurs et courbe "dessinable". C'est totalement restrictif et les fonctions les plus intéressantes sont celles pour lesquelles on ne peut pas donner de formule permettant de la calculer ni les dessiner. Voici un exemple que j'aime bien: une fonction définie de Q dans Q (donc déja pas dans R, aucune chance qu'elle soit continue). Pour chaque rationnel on écrit sa valeur en base 3 et on associe le rationnel pour lequel tous les 2 de l'écriture en base 3 sont remplacés par des 0. Ou alors autre fonction: Toujours écriture en base 3 et on associe 0 si il n'y a aucun 1 en base 3 et 1 sinon.

A quoi peuvent bien ressembler de telles fonctions? Quelles sont leur caractéristiques?

Joyeux Noël. smile

 #8 - 25-12-2010 12:13:22

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3791
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

Dérivéée de |x|

Il me semblait que la fermeture à gauche du segment [0, +infini[ suffisait...
Mais merci pour les précisions complémentaires.

Comme c'est Noel aujourd'hui et qu'il vaut mieux ne pas être grivois, je n'ajouterai rien sur ces fonctions qui vont de Q en Q et qu'on ne peut pas dessiner lol


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #9 - 25-12-2010 12:28:59

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Dériéve de |x|

:-)
On pourrait même penser que c'est fait exprès. C'est vrai que j'avais d'autres choix d'exemples et aussi dans la date pour poster ma réponse.

 #10 - 25-12-2010 14:49:31

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 941

déribée de |x|

On peut aussi considérer qu'on a un cas particulier : |x| = sqrt(x²) mais je crois que la dérivation de sqrt(u(x)) n'est pas une priorité dans cet apprentissage.


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #11 - 12-02-2011 18:18:36

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3321

détivée de |x|

Je suis tombé par hasard alors j'en profite pour savoir ce que vous en pensez.
Fonction "signe de"


http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4f/Signum_function.svg/220px-Signum_function.svg.png


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 #12 - 12-02-2011 20:05:31

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

dérivée fe |x|

Ben, c'est juste la fonction qui renvoie le signe d'un nombre.

On peut la définir comme [latex]\frac{x}{|x|}[/latex] pour tout réel non nul.

Sa dérivée est donc nulle sur [latex]]-\inf;0[[/latex] et nulle également sur [latex]]0;+\inf[[/latex].

...voila voila...


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 #13 - 13-02-2011 02:27:55

mitsuidewi
Professionnel de Prise2Tete
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Lieu: dans une chambre universitaire

Dérive de |x|

Je ne suis pas sûr que ce soit bon MthS-MlndN (mon dieu t'aurais pu choisir un autre pseudo !)
Car si on regarde bien le graph, il y a un point en 0.

Enfin bref je pense Shadock que tu voulais représenter le graph de la dérivée de |x|. il faut simplement effacer ce point en 0 qui se trouve gênant.
http://ens.math.univ-montp2.fr/ActiveMath2/LeAM_calculusPics/DerivAbs.png?lang=fr

 #14 - 13-02-2011 09:49:18

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1448

Dérrivée de |x|

Euh... je vois pas pourquoi Mathias aurait faux (ni toi non plus d'ailleurs vu qu'il dit exactement la même chose)

 #15 - 13-02-2011 13:16:33

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

Dérivée de |x

Exactement. J'ai précisé "pour tout réel non nul", et j'ai exclus 0 des intervalles sur lesquels on peut la dériver.

C'est vrai, cependant, que je n'avais pas relevé le fait que ce soit a une valeur près la dérivée de la fonction "valeur absolue".

Et si tu n'aimes pas mon pseudo, appelle-moi Mathias, comme tout le monde, mon cher Misu Mitsudiw Mistud machin tongue


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 #16 - 13-02-2011 13:16:45

Vasimolo
Le pâtissier
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Messages : 4753

Dérivée de x|

De mon temps on donnait au nombre dérivé un sens géométrique : le coefficient directeur( pente ) de la tangente à la représentation graphique de la fonction . Il est clair ici qu'en 0 il y a deux demi-tangentes à gauche et à droite et donc deux nombres dérivés ( ou aucun selon la définition ) .

Vasimolo

 #17 - 13-02-2011 13:21:34

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

DDérivée de |x|

C'est l'explication que j'en donne aussi, sauf que pour moi il y a une infinité de tangentes possibles, dans le sens où la tangente doit passer par le point (0;0) mais sans passer par un autre point de la courbe dans le voisinage de 0.

Ca nous donne donc comme possibilités toutes les droites y=kx avec k entre -1 et 1 inclus.

EDIT, après quinze secondes de Wikipedia :

Ceci dit, vu que la tangente en M est censée être la position limite de la droite N lorsque le point N sur la courbe tend vers M, je suppose que tu as le point sur ce coup-ci lol


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 #18 - 14-02-2011 09:10:13

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1448

Dérivée de ||

C'est vrai que souvent il faut reprendre les choses à la base...

1) La dérivée f' de f est la fonction qui pour tout x associe [latex]\lim_{h\rightarrow 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}[/latex]

2) La tangente à f en x est la droite qui passe par le point (x;f(x)) et dont le coefficient directeur est f'(x).

Du coup, comment parler de tangente à la courbe d'une fonction en un point où cette dernière n'est même pas dérivable smile ???

 #19 - 14-02-2011 09:49:55

fred101274
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 163
Lieu: devant mon écran

férivée de |x|

Salut.

Je pense que dans ton point 1), ce n'est pas une limite pour h tendant vers l'infini, mais bien une limite pour h tendant vers 0...

Pour le point 2), c'est pour cela que l'on parle de limite à gauche et de limite à droite; et donc de tangente à gauche différente de la tangente à droite (point anguleux).

Fred.

Edit : OK j'ai vu que tu avais corrigé.


On n’est jamais très fort pour ce calcul...

 #20 - 14-02-2011 12:10:05

mitsuidewi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 250
Lieu: dans une chambre universitaire

Dériée de |x|

Mathias, si t'aime pas mon pseudo, t'as qu'à m'appeler big boss !! hahahahaaa elle est bonne hein ??
En fait je pensais que tu donnais l'interprétation du graphe affiché juste au dessus de ton commentaire, hors sur ce graphe il y a un point en 0 alors que justement tu exclus le 0. Enfin bref ca n'a aucune importance par rapport au sujet de la discussion

 #21 - 23-08-2011 17:28:20

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Dérivéée de |x|

Pour beaucoup de chose la définition suivante de dérivée est bien meilleure : [latex]f'[/latex] est la dérivée de [latex]f[/latex] si et seulement si [latex]f(x)=\int_{a}^{x}f'(x)dx+f(a)[/latex] où a est un point du domaine de définition de f.


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #22 - 23-08-2011 20:20:37

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
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Lieu: Rouen

déribée de |x|

Je veux bien que tu cites quelques-unes de ces choses, s'il te plaît. Pour m'éclaircir un peu les idées smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #23 - 23-08-2011 20:44:38

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Dérivée dee |x|

En analyse de Fourier par exemple, la relation liant les coefficients ou les transformées de Fourier sont valables avec ce sens affaibli.smile


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #24 - 23-08-2011 22:03:13

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

Dérivée dee |x|

Merci smile


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