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 #1 - 27-05-2011 00:36:48

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Aires infines

J'ai un jour remarqué que le demi-plan supérieur, bien que de surface infinie, pouvait être considéré comme de surface un demi par rapport au plan entier, du moins intuitivement.

Peut-on donner une définition d'aire en prenant comme unité le plan ?

Sans faire de choix arbitraire, je m'explique, on peut en effet facilement répondre à la question en prenant une fonction positive intégrable sur R² tout entier puis en la normalisant.  Ensuite on mets le poids f à la mesure dxdy. Le problème étant le choix de f...



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#0 Pub

 #2 - 02-06-2011 23:11:41

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

AAires infinies

Pas d'idées? Ben moi non plus...lol


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #3 - 03-06-2011 00:00:03

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

aores infinies

C'est un problème ouvert qu'un matheux topologiquement fermé à du mal à résoudre peut-être ? lol


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #4 - 03-06-2011 00:51:49

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4986

aires infinieq

Déjà , [latex]\mathbb{N}[/latex] est-il la moitié de [latex]\mathbb{Z}[/latex] ? ben non , ils sont en bijection donc équipotents !

On peut comparer tout ce que l'on veut à condition de préciser les critères smile

Vasimolo

 #5 - 03-06-2011 08:16:37

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Airs infinies

Je parlais de surface, deux carrés sont équipotents mais n'ont pas toujours la même aire.


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #6 - 03-06-2011 11:39:04

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4986

Aires iinfinies

Je me suis mal exprimé tongue

Selon ton raisonnement appliqué à la dimension 1 , [latex]\mathbb{R}_+[/latex] devrait mesurer la moitié de [latex]\mathbb{R}[/latex] yikes

On considère la bijection [latex]f[/latex] de [latex]\mathbb{R}_+[/latex] dans [latex]\mathbb{R}[/latex] qui envoie [latex][2n;2n+1[[/latex] sur [latex][n;n+1[[/latex] par [latex]f(x)=x-n[/latex] et [latex][2n+1;2n+2[[/latex] sur [latex][-n-1;-n[[/latex] par [latex]f(x)=x-3n-2[/latex] . La mesure de [latex]\mathbb{R}[/latex] est celle de [latex]f(\mathbb{R}_+)[/latex] mais aussi celle de [latex]\mathbb{R}_+[/latex] car [latex]f[/latex] en voie chaque segment [latex][n,n+1[[/latex] sur un segment de même taille , bref la sigma-additivité ne fonctionne plus ou alors deux segments de même longueur n'ont plus la même mesure et on perd l'invariance par translation .

Bref il y a un petit problème smile

Vasimolo

 #7 - 03-06-2011 11:57:45

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4986

aires infinieq

Après réflexion on peut envisager une mesure du plan avec une projection stéréographique , un demi-plan dont le bord passe à la verticale du pôle est l'image d'un quart de sphère épointée . Plus on s'éloigne du pôle plus les aires deviennent petites ( car image d'un petite portion de sphère ) donc la mesure n'a rien à voir avec celle qu'on utilise habituellement : deux demi-plans n'ont pas forcément la même mesure mad .

Vasimolo

 #8 - 03-06-2011 13:04:40

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Aires ifninies

Je pense qu'il faudrait considérer comme mesurable seulement les parties d'aires classiques infinies si on veut avoir une chance. Car une partie d'aire finie devrait avoir une mesure relative nulle et par sigma-additivité le plan également.

Avec ces parties mesurables on perd le passage au complémentaire.
Donc plus de tribu, juste un ensemble stable par union finie ou dénombrable.
Tout cela semble bien pauvre...
Mais j'aimerai bien donner un sens à la surface délimitée par l'axe des abscisses est la parabole classique x associe x² par exemple.


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 #9 - 03-06-2011 19:07:56

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

aires infinues

Je pense qu'on peut le faire en "imitant" la construction de l'angle solide.

Il y a sans doute pas mal de problèmes mais ça doit être faisable.
Peut-être peut-on projeter le plan sur une sphère (ou demi-sphère) et considérer l'angle solide de la surface projetée?

Si on projete sur une demi-sphère (avec une projection appropriée) et en divisant par pi, le plan à une aire unité.

Commentaires?

 #10 - 03-06-2011 19:59:04

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Aires ifninies

On aimerait bien garder l'invariance par translation sinon c'est assez facile (lire mon premier commentaire avec les intégrales).


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 #11 - 03-06-2011 21:19:37

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

aireq infinies

C'est en fait sans espoir. Considérer une bande infinie de largeur 1, par sigma additivité elle vaut 0. Pas d'invariance par translation.


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