Si tu parles de ma suite, le terme général est constant donc c'est la plus simple du marché.

...

$n^2-1=(n-1)(n+1)$, CQFD.

Et, bien entendu, le passage a la limite ne fonctionne pas.

Malgré cette dyscalculie étonnante de ta part, mon cher Shadock, ta perception générale est très intéressante. Ce que tu ressens intuitivement, c'est qu'il n'existe pas d'"instant élémentaire" (au sens où on parle de "particules élémentaires" dans l'espace) et cette perception est a l'opposé de l'utilisation classique du temps que l'on fait en sciences physiques, et dans nos existences de manière générale.

Si tu veux creuser la question, je te recommande "La Pensée et le Mouvant" de Bergson -- attention : il faut s'accrocher quand même, ça reste de la philo.

Pour répondre à ta question, oui il existe des cours pour apprendre à calculer ces sommes: si tu envisages de faire un peu de maths niveau d'un niveau avancé à la rentrée, tu auras forcément un chapitre sur les séries. Ca ressemble beaucoup aux suites tel que c'est présenté en général, mais c'est beaucoup plus puissant (il y a beaucoup plus de critères de convergences qui s'appliquent aux séries que ceux qui s'appliquent aux suites).
Et puis après, il y aura toutes les application bien sympa, du genre les séries de fonctions
Pour te mettre l'eau à la bouche, un de mes préférés (et le plus facile aussi): si $f_n(x)=\frac{x^n}{n!}$, alors $\sum_{n=0}^{\infty}{f_n(x)} = e^x$

Oui, mais c'est une différence fondamentale: un DL te donne une approximation aux alentours d'un point (et te donne une majoration de l'erreur).
Ici, c'est une série entière avec un rayon de convergence sur tout R (voire même C, je sais plus)

C'est vrai que ça à l'air intéressant
Pour les séries je vais attendre la fin de ma terminale quand même