Je dis peut être une grosse bêtise mais il me semble que ce problème est généralisable avec N maisons, N peintres et N mois. on peut réinterpréter le problème de la sorte.

Si on code le problème en binaire tel qu'une maison bleue = 1 et une maison blanche = 0

On attribue le numéro 0 à une des maisons et on incrémente dans le sens des aiguilles d'une montre jusqu'à N-1.
Le code initial des couleurs des maisons de la rue est un nombre binaire codée sur N caractères. Appelons le A. (Le premier chiffre correspond à la couleur de la dernière maison et le dernier à celui de la première)

Il suffit de voir que lorsque le peintre de la maison X sort de chez lui, le nouveau code couleur des maisons correspond à :
A+2^X         si A+2^X < 2^N
A+2^X mod[2^(N)-1]      sinon

On ne sait pas l'ordre dans lequel les peintres vont sortir de chez eux mais par chance, l'addition étant associative et commutative, une fois que les N peintres seront sortis de chez eux le code couleur des maisons sera

     A + 2^0+ 2^1 + 2^2 + .... + 2^(N-1) si le résultat est < 2^N
     A + 2^0+ 2^1 + 2^2 + .... + 2^(N-1)  mod[2^N -1] sinon

C'est à dire :
     A + 2^N - 1 si le résultat est < 2^N
     A + 2^N - 1 mod[2^N - 1] sinon

Autrement dit :
     2^N - 1 si A = 0
     A sinon

ce qui signifie qu'on obtient que des maisons bleues s'il n'y avait que des maisons blanches initialement (A=0) ou alors on retombe le résultat initial si A>0 ie s'il y avait au moins une maison bleue.

L'avantage de cette méthode c'est qu'elle marche pour tout N et pas seulement N=12 et qu'on peut trouver l'état des maisons très facilement pour toute sous partie de peintres étant déjà sortis de chez eux

Au passage, très belle énigme !!

Bon c'est peut être un peu indigeste ci dessus donc je le refais avec un exemple.Spoiler : [Afficher le message]
Imaginons qu'on ait 5 maisons
             0 Bleue

4 Blanche            1 Blanche

   3 Blanche       2  Bleue

On code la rue initiale en binaire.
Dans cet exemple on a donc A = 00101 = 0*2^4 + 0*2^3 + 1*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0

1) Quand un peintre d'une maison blanche sort de chez lui, il ne fait que rendre sa maison bleue. Par exemple celui de la maison 4 :
             0 Bleue

4 Bleue           1 Blanche

   3 Blanche       2  Bleue

Le nouveau code est 10101 = 00101 + 10000 = A + 2^4 =A1

2) Quand un peintre d'une maison bleue sort de chez lui, il rend sa maison blanche et continue jusqu'à ce qu'il rencontre une maison blanche.
Par exemple celui de la maison 2 qui va inverser les couleurs des maisons 2 et 3
                      0 Bleue

4 Bleue                  1 Blanche

            3 Bleue    2  Blanche

Le nouveau code est 11001 = 10101 + 00100 = A1 + 2^2 = A2

Et ainsi de suite ...

Le coup du modulo ne sert qu'à revenir à la première maison si un peintre peint la dernière maison de bleue à blanc.
comme c'est le cas ici si le peintre 3 sort de chez lui à la 3ème étape.

                 0 Blanche

4 Blanche                    1 Bleue

   3 Blanche  2  Blanche

Le code devient 00010 = 11001 + 01000 mod(11111)= 100001 mod (11111) = 11111 + 00001 + 00001 mod (11111) = 00010 = A2 + 2^3 mod(2^5 -1)

2 Bonnes réponses

Difficile de formaliser ce pb en langage mathématique...

Scénario pour chaque maison prise isolément:

1) 2 changements de couleur, dont 1 par le propriétaire et un autre par un voisin.
2) un et un seul départ vers la maison avale, soit du propriétaire, soit d'un voisin amont.
3) une et une seule arrivée d'un voisin amont.

Pour le 1)
Par le proprio, et si on suppose qu'il y a une arrivée amont, par ce voisin amont.

Pour le 2)
Si maison bleue quand proprio sort, c'est lui qui va vers l'aval et bloque le voisin amont qui s'arrêtera là. Si maison blanche, il rentre chez lui, non sans avoir peint sa maison en bleu, et donc autorise le voisin amont à continuer son chemin tout en peignant sa maison en blanc.

Pour le 3)
Si le proprio de la maison amont a une maison bleue, il pourra aller vers l'aval. Sinon il reste chez lui mais en autorisant le passage d'un autre voisin amont. De proche en proche, il n'y a que le cas où ttes les maisons sont blanches au départ qu'il n'y aura pas de déplacements et que ttes les maisons deviendront bleues. Mais ce cas a été exclu dans l'énoncé.

Le scénario proposé atteste donc que les couleurs initiales des maisons sont conservées après sortie de tous les peintres.