Déjà, tout les membres d'une suite spéciale sont divisibles par 9, excepté le premier dans certains cas.

Une suite spéciale d'un nombre à 3 chiffres se termine par 495 dont l'écart spécial donne 495. (Le cas d'un nombre à 3 chiffres identiques aboutit à 0)

Une suite spéciale d'un nombre à 4 chiffres se termine par 6174 dont l'écart spécial donne 6174. (Le cas d'un nombre à 4 chiffres identiques aboutit à 0)

Je veux dire par "se termine par" que la suite concernée aboutit obligatoirement à ce nombre qui, ensuite, se répète à l'infini dans la suite.

Voilà et j'espère que c'est ce que vous attendiez comme réponse. Par contre, je n'ai pas la capacité de prouver les résultats ci-dessus mais je peux essayer ...

Je ne crois que ce que je vois. Vous auriez une preuve ?

Comme les ecarts sont forcement des multiples de 9, on peut dire...:

1) Que peut-on dire d'une suite spéciale commençant par un nombre à 3 chiffres ?
que le chiffre du milieu sera toujours un 9...
et donc que la suite a au plus 11 elements.

2) Que peut-on dire d'une suite spéciale commençant par un nombre à 4 chiffres ?
que la suite a au plus 1111 elements.

apres quoi, elles se repetent d'une maniere ou d'une autre...

Pour un nombre à 3 chiffres, distinguons les nombres de la forme:
aaa----->0
aab ou abb ou abc---->a;9;9-a----->945.

Pour un nombre à 4 chiffres, c'est un peu plus compliqué (représentation chiffres décroissants):
aaaa ou aaab ou abbb ou abbc ou ab(b-5)c ou 9531 ----->0
Tous les autres donnent 7641

Démo:
aaab-baaa=a99(9-a) qui aboutit à 999 donc 0.
Idem pour abbb, abbc.
Pour les autres
abcd-dcab=a-d;b-c-1;9+c-b;d-a+10.
On remarque que la somme des 2 nombres d'extrémité fait 10, les 2 centraux fait 8. ça réduit considérablement le nombre de cas possibles!

Pour les nombres à 5 chiffres et plus, on tombe dans plusieurs boucles différentes.

Propositions:

1) Deux chiffres:
Soit le nombre avec les chiffres a et b tel que a<=b
Le terme suivant de la suite U1=ba-ab=10*b+a-10*a-b=9*(b-a)
U1=9*q où q=b-a
On peut donc avoir 10 cas différents; q=0 à 9
Dans chaque cas, on U5=0;
Conclusion: La suite spéciale dans ce cas est convergente et converge vers 0.

2) Trois chiffres:
Soit le nombre avec les chiffres a, b et c tel que: a<=b<=c
Le terme suivant de la suite U1=cba-abc=100*c+10*b+a-(100*a+10*b+c)
U1=99*c-99*a=99*(c-a)=99*n avec n=c-a;
On peut donc avoir 10 cas différents; n=0 à 9.
# n=0; U1=0; U2=0; ...; Uinf=0;
# n=1; U1=99; U2=0; ...; Uinf=0;
# n=2 à 9; on trouve U5=495 or l'écart spécial de 495 est égal à 495 donc Uinf=495.
Nota: Uinf=valeur U à l'indice infini.
Conclusion: La suite spéciale dans ce cas est convergente et converge vers:
# 0 si le nombre formé de 3 chiffres identiques ou de 2 chiffres identiques et d'un 3ième chiffre +/- 1 les 2 identiques (exple 565);
# 495 dans tout autre cas.

3) Quatre chiffres:
Soit le nombre avec les chiffres a, b, c et d tel que a<=b<=c<=d
Comme précédemment, on trouve U1=999*(d-a)+90(c-b)=999*m+90*p où m=d-a et p=c-b
Remarque: p<=m (merci titoufred pour la remarque),
Il y a donc au total 55 cas différents à étudier . Un rapide algorithme permet d'arriver à la conclusion suivante.
Conclusion: La suite spéciale dans ce cas est convergente et converge vers:
# 0 dans les 2 cas suivants m=0 et p=0  /  m=1 et p=0
# 6174 dans tout autre cas.
Nota: Notons au passage que l'écart spécial de 6174 est égal à 6174.

Tout les nombres à deux chiffres aboutissent à 0 à coup sûr.

Ch'ui bête je voulais dire à coup sûr, me suis trompé . Corrigé.

Bah, on fait l'opération 10a+b-(10b+a) qui est égal à 9a-9b ou 9(a-b). a-b peut valoir de 0 à 9 et on essaye les différents cas et ça aboutit chaque fois à zéro.