Bonjour à tous !

Après avoir posé ma question sur plusieurs forums (principalement scolaires et/ou universitaires) mais être toujours sans réponse, je me décide à poster ici vu qu'il semble y avoir de vrais cadors en maths...

Bon, mon problème est une sorte de curiosité mathématique, dont vous avez bien sûr compris que je cherche moi-même la réponse

Soit un premier triplet {p,m,g}, dont les composants p, m et g sont des réels, tous positifs et supérieurs à 1, mais pas forcément entiers.
On sait aussi que (p+m+g) est plus grand ou égal à 3.
Soit un second triplet {a,b,c} dont les composants a, b et c sont également des réels, tous strictement positifs, mais pas forcément entiers.
Enfin, il existe des relations entre les éléments de ces deux triplets. On sait ainsi que :
- (p.a) plus grand ou égal à (a+b+c)
- (m.b) plus grand ou égal à (a+b+c)
- (g.c) plus grand ou égal à (a+b+c)

Quelles doivent être les relations entre les éléments p, m et g pour qu'il existe au moins un triplet {a,b,c} qui soit la solution du problème ?
Autrement formulé : quel est l'algorithme (exprimé en p, m et g uniquement) qui permet d'affirmer qu'il existe au moins une solution ?


Pour mieux comprendre, voici un exemple :
supposons que p,m et g soient respectivement égaux à 2,5 et 8.
On pourrait par exemple dire que :
- si pm =p+g  (appelons cette équation S1)
- et si mg = p² + pm (S2)
- et si pg = (g+m)+(g-m) (S3)
alors l'algorithme constitué par le système des 3 équations S1, S2 et S3 serait une solution au problème, puisqu'au moins un triplet a,b,c  existerait (par ex a = 8, b=3, c=2.).
Mais voilà, on ne connait pas les valeurs de p, m et g, et il faut donc obtenir une formulation générale.

Arriverez-vous à m'aider ?

Nota : il me semble probable que l'algorithme soit constitué d'au moins trois inéquations :
- l'une déterminerait un ordre quantitatif sur la somme de p, m et g,
- la seconde déterminerait un rapport entre p et m
- et la 3ème un rapport entre m et g
Mais ce n'est qu'une intuition.

Nota bis : Autre précision : il est bien entendu évident que
p+m+g doit être au moins égal à 3abc+a²b+ab²+a²c+ac²+b²c+bc² pour que ça marche ! Mais ce n'est pas l'algorithme recherché, puisque ce dernier est exprimé en a, b et c, alors qu'on cherche une expression ou un système exprimé en p, m et g !