Tricheur , tu as retourné le dessin pour me faire mentir

Vasimolo

Si on accepte les chevauchements j'ai trouvé un exemple de neuf points qu'on ne peut pas cacher avec deux triangles alors qu'on peut cacher huit quelconques d'entre eux .



Les gâteaux étant des triangles 5X5 .

Il faut donc pouvoir couvrir au moins neuf taches quelconques pour être assuré de cacher l'ensemble des taches . Le problème initial est bien extrémal , il reste à le démontrer .

Vasimolo

Pour le cas sans chevauchements, voici un exemple 11 points dont on peut toujours recouvrir 10 d'entre eux sans pouvoir tous les recouvrir :



Les gâteaux sont 9 x 9.

De manière générale, sur le même modèle, si on a k points rouges, alors on a k+2 points dont on peut toujours recouvrir k+1 d'entre eux mais pas tous avec des triangles k*k. Je ne détail pas plus, mais je pense qu'on peut facilement s'en convaincre.

Donc effectivement, si le pâtissier ne s'autorise pas les chevauchements alors ce n'est pas certains qu'il puisse recouvrir toutes les taches.

Finalement, je reviens sur mon idée de tracer le plus petit triangle équilatéral qui contient tous les points et qui a la même orientation que les gâteaux, je crois que j'ai mal exploité cette idée.

D'abord un résultat préliminaire :

Un gâteau peut recouvrir un ensemble de taches si et seulement si il peut recouvrir trois taches quelconque de cet ensemble de taches. (la démonstration est laissée en exercice )

En particulier cela signifie que si un gâteau ne peut pas recouvrir un ensemble de taches, alors il existe trois tâches de cet ensemble qui ne peuvent être recouverte.

Remarque à propos des résultats précédents : Pour éviter de vous encombrer avec plein de détails, je suppose que mon ensemble de tache à au moins trois taches.


Dans la figure ci-dessous, le plus petit triangle équilatéral contenant tous les points est en violet. On peut toujours se ramener à avoir un des gâteaux dans un angle du triangle violet. Ce qui nous fait donc trois positions possibles pour le gâteau en gris :



Remarque à propos de l'image :Dans cette image, tous les points ne sont pas représentés. On sait seulement que dans le triangle violet il y a plein de points, j'ai dessiné que quelques points intéressants à titre d'exemple.

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Dans le cas 1) appelons [latex]B[/latex] (comme bleu) l'ensemble des points qui sont dans la zone non grisé du triangle violet.

-Si avec le second gâteau je peux recouvrir trois points quelconques de [latex]B[/latex] alors d'après le résultat préliminaire, je pourrais recouvrir tous les points de [latex]B[/latex] et donc tous les points seront recouvrables par les deux gâteaux.
-Sinon, il existe trois points de [latex]B[/latex] qui ne peuvent pas être recouverts par le second gâteau. Sur le dessin ce sont les trois points bleus.

----------- (aux noms des couleurs près, c'est un copier coller)

Dans le cas 2) appelons [latex]R[/latex] (comme rouge) l'ensemble des points qui sont dans la zone non grisé du triangle violet.

-Si avec le second gâteau je peux recouvrir trois points quelconques de [latex]R[/latex] alors d'après le résultat préliminaire, je pourrais recouvrir tous les points de [latex]R[/latex] et donc tous les points seront recouvrables par les deux gâteaux.
-Sinon, il existe trois points de [latex]R[/latex] qui ne peuvent pas être recouverts par le second gâteau. Sur le dessin ce sont les trois points rouges.

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Dans le cas 3) appelons [latex]V[/latex] (comme vert) l'ensemble des points qui sont dans la zone non grisé du triangle violet.

-Si avec le second gâteau je peux recouvrir trois points quelconques de [latex]V[/latex] alors d'après le résultat préliminaire, je pourrais recouvrir tous les points de [latex]V[/latex] et donc tous les points seront recouvrables par les deux gâteaux.
-Sinon, il existe trois points de [latex]V[/latex] qui ne peuvent pas être recouverts par le second gâteau. Sur le dessin ce sont les trois points verts.
Or ceci est impossible car cela voudrait dire que les neuf points colorés de la figures ne sont pas recouvrables par les deux gâteaux. Ce qui contredit l'hypothèse du pâtissier.
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Donc toutes les tâches pourront-être recouverte par les deux gâteaux.
CQFD.

Note à propos de la démonstration précédentes : Je n'ai montré ici que le cas où l'on a besoins de 9 points. Une démonstration rigoureuses, demanderait à étudier plusieurs autres cas. Tous ces cas ne sont pas très difficiles, mais ce serait un peu plus long. Je les laisse à l'intention du lecteur ou de la lectrice

Soit ABC le plus petit triangle recouvrant l'ensemble des taches et dont les côtés sont parallèles à ceux du gâteau modèle . Si ABC est plus petit ou égal à un gâteau , l'affaire est dans le sac , on supposera le contraire pour la suite . Chaque côté de ABC passe par une tache TA sur [BC] , TB sur [AC] et TC sur [AB] ( deux d'entre-elles peuvent être confondues ) . On note GA , GB et GC les copies du gâteau dans les angles du triangle ABC et pour finir on note EA , EB et EC les taches extérieures aux gâteaux GA , GB et GC .



Considérons maintenant le plus petit triangle à côtés parallèles au modèle et contenant l'ensemble des points de EA ( extérieurs au gâteau GA ) . Chaque côté de ce triangle passe par une tache , l'une d'entre elle est TA . On peut faire la même chose à partir de chaque point , on a donc trois triangles dont les côtés sont parallèles au modèle et passent par neuf taches au maximum . Considérons deux gâteaux recouvrant toutes ces taches , l'un d'entre eux contient une paire de {TA,TB,TC} disons TB et TC . Or un gâteau contenant les points TB et TC ne peut contenir aucun point de EA ce qui entraine que l'autre gâteau X recouvre EA . Alors GA et X et recouvrent l'ensemble des taches .

Et c'est fini

On peut aussi regarder ce qui se passe si le gâteau est un carré , un polygone régulier , un convexe quelconque .

Vasimolo

Salut Golgot

Ton triangle en vert est bien le plus petit triangle recouvrant EA et il a ( au moins ) une tache sur chacun de ses côtés . On considère ensuite une tache sur chaque côté ( qui peut être la même pour deux côtés ) , ce qui nous donne au maximum trois points . Si on complète avec les points des triangles recouvrant EB et EC on arrive aux neuf points annoncés .

J'espère que c'est plus clair car ce n'est vraiment pas facile à expliquer

Vasimolo

C'est difficile de répondre à des bribes de question

Si on peut recouvrir six taches avec deux triangles on peut en recouvrir neuf : qui peut le plus peut le moins .

Vasimolo

Edit : Sur le dessin de Golgot on voit bien que TB n'appartient pas au triangle recouvrant EA .

Tu as plutôt bien résumé la démarche , je suis sans doute allé un peu vite à la fin

Un gâteau contenant TB et TC contient nécessairement le point A , il est donc "plus haut " que le triangle GA et ne rencontre pas EA .

Vasimolo

Je ne sais pas trop si quelqu’un a essayé avec les deux carrés , je donne mes premiers essais .

Rappel des problèmes :

Pb1 : Existe-t-il un entier n tel que : si on peut recouvrir n taches quelconques du plan avec deux translatés d’un carré alors on peut recouvrir l’ensemble des taches avec deux translatés du même carré ?

Pb2 : Même question en interdisant les chevauchements des carrés .

Dans les deux problèmes , si n existe , il est strictement supérieur à deux , pour s’en convaincre il suffit de prendre trois points très éloignés les uns des autres .

A propos du problème 1 : Une conjecture qui est presque une démonstration : n=3 .

A propos du problème 2 : Un exemple de cinq points ne pouvant être recouverts alors que quatre points quelconques le peuvent ( carrés de côté 2 ) . On devrait  pouvoir généraliser .
 


A suivre ...

N'hésitez pas à donner vos idées .

Vasimolo

Pour le deuxième problème :

J'ai un exemple de 6 points ne pouvant pas être recouverts par deux carrés de côté 3 ( mais 5 quelconques d'entre eux : oui ) .



Et sept points non recouvrables par deux carrés de côté 4 :



Pour le moment je n'ai pas de configuration type que l'on pourrait étendre à tout entier comme celle du message #55 de Cogito pour les triangles équilatéraux .

@suivre ...

Vasimolo

Histoire de réanimer un peu le problème : quelqu'un a-t-il réussi à trouver un ensemble de 9 points qui ne peuvent pas être recouverts par deux carrés alors que 8 d'entre eux le peuvent toujours ?

Vasimolo

Il n'est pas moribond ce problème , j'aimerais bien une solution complète pour le carré comme cela a été fait pour le triangle équilatéral .

Courir après chaque problème qui montre une fesse c'est pas mal , j'aime bien m'attarder sur ceux qui montrent un peu plus

Vasimolo