Bonjour

Un problème intéressant qui rappelle un peu celui d'une barque qui perd un objet sur une rivière à flot continu .

J'y réfléchis dès que je trouve un moment

Vasimolo

salut.

kossi_tg:  réponse bonne . tu peux développer stp.

[TeX]V_t[/latex]: vitesse du troupeau = 500/(12*60)=0.6944m/s

[latex]V_c[/latex]: vitesse constante du cow boy



J'ai découpé le parcours en 4 étapes représentées par HC', CA', AB' et BH' (liaison entre 2 sommets). Pour chaque étape, je considère ABC comme la position initiale du troupeau et A'B'C' la position du troupeau quand l'étape est terminée. La première et dernière (HC' et BH') sont identiques.

Première étape: HC'
Soit t_1, le temps de cette étape, on a: [latex]V_c^2=V_t^2+(HC/t_1)[/TeX]
[TeX]V_t[/latex] et [latex](HC/t_1)[/latex] étant des composantes de [latex]V_c[/latex] dans cette étape.

On déduit: [latex]t_1=\frac{HC}{\sqrt{V_c^2-V_t^2}}[/latex];

Deuxième étape: CA'
Soit [latex]t_2[/latex], le temps de cette étape
[latex]CA'^2=CH^2+HA'2[/latex] (pythagore)
[latex]HA'=\sqrt{3}*HC+V_t*t_2[/TeX]
[TeX]CA'=t_2*V_c[/TeX]
On déduit de ces 3 équations:
[TeX]t_2=\frac{\sqrt{3}*CH*V_t}{D}+
\sqrt{\frac{4*HC^2}{D}+\frac{3*HC^2*V-t^2}{D^2}}[/latex] où [latex]D=\sqrt{V_c^2-V_t^2}[/TeX]
Troisième étape: AB'
Soit [latex]t_3[/latex], le temps de cette étape
Le même raisonnement que l'étape précédente; on arrive à:
[TeX]t_3=-\frac{\sqrt{3}*CH*V_t}{D}+
\sqrt{\frac{4*HC^2}{D}+\frac{3*HC^2*V-t^2}{D^2}}[/TeX]
Quatrième étape: BH'
Cette étape est identique à la première [latex]t_4=t_1[/latex].

La durée totale du parcours est de [latex]T=t_1+t_2+t_3+t_4=12*60=720 s[/latex]
Tout calcul bien fait à partir de cette relation donne:
[TeX]2*HC*(\sqrt{D}+\sqrt{4*D+3*V_t^2})=T*D[/latex] soit

[latex](\sqrt{D}+\sqrt{4*D+3*V_t^2})=1.44*D[/latex] car T=720 et CH=250.

Méthode du point fixe: [latex]D=4.5679324579297=V_c-V_t[/latex] où [latex]V_t=0.69444[/TeX]
[latex]V_c=2.24726178812115[/latex]

On a alors:
[TeX]t_1=t_4=116.971530332742[/TeX]
[TeX]t_2=308.857653433083[/TeX]
[TeX]t_3=177.199285901433[/TeX]
Il passe par la tête du troupeau après les 2 premières étapes soit [latex]t_1+t_2=425.829183765825=~7min et 5.8 sec[/latex]

donc midi 7 min et 5.8 secondes.

A l'arrivée à son point de départ, il aura parcouru 1628.03 m.

(Les formules Latex semblent rencontrer des problèmes d'affichages!) Je mettrai le scan de mes brouillons si cela ne s'améliore pas.

Bon , on arrive à mettre le problème en équation mais je n'en tire pas grand chose de propre sans logiciel de calcul .

Y-a-t-il une solution simple à ce problème ?

Vasimolo

Sauf erreur , j'ai trouvé 12h 07m 05,8 s .

Je ne suis pas sûr du tout du résultat et absolument pas satisfait de la méthode à coup de valeurs approchées

Vasimolo

salut.

vasimolo : oui pour le résultat.

sydre : non

salut.

vasimolo.

le polynôme de degré 4 n'est pas monstrueux . tous ses coefficients sont entiers.

Bonjour,

Je n'ai pas eu le temps de plancher sur le problème, et en plus, histoire de faire simple, j'étais parti sur une courbe de poursuite ou "courbe du chien" pour décrire la trajectoire du cow-boy.






Qu'en pensez-vous ?


edit : Le fait que le troupeau soit un bloc "compact" est certainement incompatible avec cette trajectoire compte-tenu du rapport des vitesses.




A+

hips !

Salut à tous.

Je poste quand même ma résolution en souhaitant que laTex refonctionne un jour.
Je n'ai aucune Prévisualisation pour le moment , je corrigerai s'il le faut par la suite.
Je ne comprend pas car laTex fonctionne sur certains postes en amont.

solution:



dans ce problème , les vitesses  Vt (troupeau) et Vc (cowboy) sont constantes . Alors on peut écrire :
[TeX]\frac{V_c}{V_t}=\frac{D_c}{D_t} = x  [/latex], D étant les distances parcourues

c'est cette  variable x qu'on va devoir trouver . On peut aussi remarquer que le cowboy a la possibilité de démarrer son inspection à partir d'un point quelconque sur un des côtés du triangle. alors pour résoudre la problème , je vais le placer en B . Il va ainsi longer dans cet ordre les 3 côtés BC , CA & AB .

Durant ces 3 phases de déplacement du cowboy , le troupeau aura parcouru  3 distances : a , b & c   

Et  a+b+c=500



phase 1 :  le cowboy parcourt le segment BC en mouvement pendant que le troupeau , lui , parcourt la distance a .

a+b+c=500

[latex] a^2 = a^2x^2 - 500^2 \Rightarrow a = \frac{500}{\sqrt{x^2-1}}   [/latex] (1)



phase 2 : le cowboy parcourt le segment CA en mouvement pendant que le troupeau , lui , parcourt la distance b  .

[latex]250^2 + (250\sqrt3 + b)^2 = b^2x^2   [/latex]d'où l'équation :

[latex] (x^2-1).b^2 - 500\sqrt3.b - 500^2 = 0    [/latex] équation du second degré en b

Ce qui donne :

[latex] b = \frac{500\sqrt3 + \sqrt{750000 + 10^6.(x^2-1)}}{2.(x^2-1)}  [/latex] (2)



phase 3 : le cowboy parcourt le segment AB en mouvement pendant que le troupeau , lui , parcourt la distance c  .
[latex] 250^2 + (250\sqrt3 - c) ^2= c^2.x^2  [/latex]d'où l'équation du second degré en c

[latex] (x^2-1).c^2 + 500\sqrt3.c - 500^2 = 0 [/TeX]
ce qui donne :
[TeX] c = \frac{-500\sqrt3 + \sqrt{750000 + 10^6.(x^2-1)}}{2.(x^2-1)}  [/latex] (3)



Ainsi en sommant a , b et c  , on obtient l'égalité suivante:



[latex] a+b+c = \frac{500}{\sqrt{x^2-1}} + \frac{500.\sqrt{3+4x^2-4}}{x^2-1} = 500 [/TeX][TeX] \frac{\sqrt{4x^2-1}}{x^2-1} = \frac{\sqrt{x^2-1} - 1}{\sqrt{x^2-1}} [/TeX][TeX] \frac{4x^2-1}{(x^2-1)^2} = \frac{x^2 - 2.\sqrt{x^2-1}}{x^2-1}\Rightarrow\frac{4x^2-1}{x^2-1} = x^2 - 2.\sqrt{x^2-1} [/TeX]
[TeX] \frac{4x^2-1}{x^2-1} - x^2 = -2.\sqrt{x^2-1} [/TeX][TeX] \frac{x^4-5x^2+1}{x^2-1} = 2.\sqrt{x^2-1} [/TeX][TeX]x^4-5x^2+1 = 2.(x^2-1).\sqrt{x^2-1} [/TeX]
puis en posant  x^2 = X et en élevant tout au carré pour faire disparaître le radical , on obtient une équation de degré 4 en X :
[TeX] X^4 -14X^3 + 39X^2 -22X +5 = 0  [/latex]qui donne : [latex]X\approx10.472065 \Rightarrow x=\sqrt{X}\approx 3.236057 [/TeX]
Le cowboy aura ainsi parcouru  : [latex]500x \approx1618.028 m [/latex]



puis en reportant la valeur de x dans les expressions (1) , (2) & (3)  on obtient les valeurs a , b & c  correspondant aux distances parcourues par le troupeau durant chacune de ces 3 phases . Mais comme aussi le cowboy démarre en H au lieu de B , le troupeau aura parcouru : a/2 + b lorsque le

cowboy sera en A . et:



a = 162.46046 m[latex]\Rightarrow\frac{a}{2} = 81.23023 m [/latex]
b = 214.48448 m
c = 123.05506 m

et [latex]\frac{a}{2}+ b = 295.715 m   [/latex]

le troupeau ayant parcouru 500 mètres en 12 min , le cowboy sera passé en A à :                                          [latex] 12h + 720.\frac{295.715}{500}s = 12h+7min+5s+83/100s[/latex]

Patience et longueur de temps .......