FINI !!!!!
Bon alors la démo est pas simple, je préviens tout de suite.
On commence par un petit résultat utile pour la suite:
Résultat 1: si 4n+1 est un nombre premier, alors -1 est un résidu quadratique modulo n
Démonstration:
-1 = 4n [4n+1]; et 4n est premier avec 4n+1 donc non divisible par 4n+1
Le lemme de Gauss nous indique alors que [latex]\left(\dfrac{-1}{4n+1}\right) = (-1)^q[/latex], où (...) est le symbole de Legendre et q est le nombre d'entiers supérieurs strictement à 2n parmi les entiers -1, -2, -3, ..., -2n.
En modulo 4n+1, cette liste devient 4n, 4n-1, 4n-2, ..., 2n+1 et comprend donc 2n termes, donc [latex]\left(\dfrac{-1}{4n+1}\right) = 1[/latex]
Autrement dit, -1 est un résidu quadratique de 4n+1
On va maintenant attaquer la démo proprement dite.
Résultat 2: soit k non multiple de 3, 4k^2+3 = 7 [12]
Démonstration:
k est congru à 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10 ou 11 modulo 12
k^2 est congru à 1 ou 4
4k^2 est congru à 4 modulo 12
Et donc 4k^2+3 est congru à 7 modulo 12
Résultat 3: n=7[12] et p.q = n si et seulement si l'un des deux facteurs est congru à 1 et l'autre à 7 modulo 12; ou bien l'un des deux à 5 et l'autre à 11 modulo 12
Démonstration:
Il suffit d'écrire le tableau avec toutes les valeurs possibles de p et de q modulo 12 pour s'en rendre compte.
Résultat 4: Si k n'est pas multiple de 3 et 4k^2+3=p.q=7[12] et p=5[12]; alors p est composé.
Démonstration:
Supposons p premier, qu'on écrira 12x+5
On a 4k^2+3=p.q donc 4k^2+3=0[12x+5]
4k^2 = 12x+2[12x+5]
4k^2 = 36x+12[12x+5] (on ajoute 2 fois 12x+5)
4k^2 = 36x+12 + Q.(12x+5)
Comme 12x+5 et 4 sont premiers entre eux, alors Q est un multiple de 4 et vaut 4Q'
4k^2 = 4(9x+3) + 4Q'.(12x+5)
k^2 = (9x+3) + Q'.(12x+5)
k^2 = 9x+3 [12x+5]
Donc 9x+3 est un résidu quadratique de 12x+5
Dans ce cas, [latex]1=\left(\frac{9x+3}{12x+5}\right) = \left(\frac{3}{12x+5}\right)\left(\frac{3x+1}{12x+5}\right)[/latex]
De plus, la loi de réciprocité quadratique nous indique que 3 est un résidu modulaire de 12x+5 si et seulement si 12x+5 est un résidu modulaire de 3.
Or, 12x+5 = 2[3] et une analyse rapide des 2 cas possibles nous montre qu'aucun nombre z n'est tel que z^2 = 2[3]
Donc [latex]\left(\frac{3}{12x+5}\right) = -1[/latex]
Du coup, [latex]\left(\frac{3x+1}{12x+5}\right) = -1[/latex]
Cependant, d'après le résultat 1, [latex]\left(\frac{12x+4}{12x+5}\right) = 1[/latex], car en effet 12x+4 = -1 [12x+5]
Du coup, [latex]\left(\frac{4}{12x+5}\right)\left(\frac{3x+1}{12x+5}\right) = 1[/latex]
Or, on peut remarquer que 4 est un résidu modulaire de 12x+5: en effet, 2 est tel que 2² = 4 [12x+5]
Autrement dit, [latex]\left(\frac{4}{12x+5}\right)\left(\frac{3x+1}{12x+5}\right) = \left(\frac{3x+1}{12x+5}\right) = 1[/latex]
Ceci contredit donc notre résultat précédent: l'hypothèse selon laquelle p=12x+5 est premier est donc absurde et p est donc composé.
(Ouf...)
Résultat 5: Un nombre composé a.b congru à 5 modulo 12 est tel que l'un des 2 facteurs est congru à 1 modulo 12 et l'autre à 5; ou bien l'un des 2 facteurs est congru à 7 modulo 12 et l'autre à 11
Il suffit d'écrire le tableau avec toutes les valeurs possibles de p et de q modulo 12 pour s'en rendre compte.
Résultat 6: Si k n'est pas multiple de 3, alors 4k^2+3 admet un facteur premier congru à 7 modulo 12
Démonstration:
Si 4k^2+3 est premier, alors d'après le résultat 2 c'est bon: 4k^2+3 est le facteur recherché.
Sinon, on écrit 4k^2+3 = p.q
D'après le résultat 3, on a 2 cas.
Cas 1: si p (ou q) est congru à 5 modulo 12
on dira que c'est p pour fixer les choses
Dans ce cas, p est composé d'après le résultat 4; et d'après le résultat 5 il peut se décomposer en p'.q' avec p'<p et tel que p vaudrait 7 ou 5 modulo 12.
On peut écrire 4k^2 = p'.(q'.q)
Si p' est congru à 5 modulo 12; on itère le cas 1. On finira forcément par obtenir un p' congru à 7 modulo 12 (argument de la descente infinie)
Si p' est congru à 7 modulo 12, on passe au cas 2.
Cas 2: si p (ou q) est congru à 7 modulo 12
Dans ce cas, p peut être premier (et c'est bon), sinon p vaudrait p'.q' avec p'<p
On peut écrire 4k^2 = p'.(q'.q) et recommencer l'étude de cas. Comme p'<p, on finira forcément par avoir un facteur premier (argument de la descente infinie aussi)
Résultat 7: Il existe une infinité de nombre premiers congrus à 7 modulo 12
Démonstration:
On définit la suite suivante:
[TeX]
U_0=7\\
U_{n+1} = 4(\prod_{i=0}^n{U_n})^2+3[/TeX]
On remarque que
- tous les Un sont congru à 1 modulo 3 (par récurrence)
- tous les Un sont premiers entre eux deux à deux (Un+1 ne peut être divisé par aucun Ui)
Du coup, notre suite comprends une infinité d'entiers tous premiers entre eux deux à deux et de la forme 4k^2+3. Autrement dit, chacun comporte un facteur premier congru à 7 modulo 12 (résultat 6) qui ne divise pas les autres (tous premiers entre eux deux à deux).
Il y a donc une infinité de nombres premiers congrus à 7 modulo 12.
VOILA !!!
Petite remarque: j'ai répondu à la question. Cependant, la fameuse "étape 2" reste toujours ouverte... en effet, cette démo utilise le fait que si on trouvait par hasard un produit du style 5x11 = 7 [12]; on pourrait le décomposer pour obtenir enfin 7x1x1x1x1x1...x1x11x11 = 7x1[12]; et que si le terme en 7 n'était pas premier, on pourrait recommencer à l'infini
Ceci dit, pour l'instant, mon PC n'a encore trouvé aucun cas de la forme 5x11 = 7 [12]
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