Ok, c'est une fois de plus bâclé,  mais il doit y avoir la place dans ton dessin pour 4 cercles de diamètre (racine (2)- 1). Mieux on peut agrandir en suivant la courbe des cercles distants (croix faite d'arcs de cercle)...
Beh non en fait !

Je vois que personne n'a fait mieux que moi

Je me suis amusé à trouver une borne supérieure de l'aire nappée ne serait-ce que pour démentir les affirmations de Nodgim .

On considère un nappage maximal du carré 20X20 (en jaune ) ci dessous :



L'image du nappage N par les translations U et V de vecteurs u et v est contenue dans l'octogone d'aire 40(12+rac(3)) ci-dessus . On voit aisément que N , U(N) et V(N) sont disjoints donc l'aire nappée est inférieure à 40(12+rac(3))/3 ce qui représente environ 46% du carré initial.

Une illustration appliquée à la figure initiale pour montrer que la majoration est particulièrement grossière :



Merci aux participants .

Il n'est pas interdit de continuer à chercher

Vasimolo

Le fait que N , U(N) et V(N) sont disjoints ne dépend pas de la forme du coulis .

On va essayer de l'expliquer sans Latex :

On a ||u||=||v||=||u-v||=4 .

Si x € N et x € U(N) alors il existe y € N tel que x=U(y) , alors d(x,y)=4 .

Si x € N et x € V(N) alors il existe y € N tel que x=V(y) , alors d(x,y)=4 .

Si x € U(N) et x € V(N) alors il existe y € N et z € N tels que x=U(y)=V(z) , alors z=V^-1 o U(y) donc d(y,z)=4 .

C'est donc impossible dans les trois cas .

Vasimolo

Il semble en effet que seul Vasimolo comprenne ses propres énigmes

DANS ta grosse tache unitaire, aucun des points de la tache n'est distant de 4 cm d'un autre ?

Parce que sinon, la tache n'a pas plus que la superficie d'un cercle de rayon 2

Non, car DANS ta tache il y a des points distants de 4 cm entre eux, et c'est interdit par l'énoncé (une fois qu'on le comprend )

Mais pourquoi veux tu éclater ma grosse tàche carrée ? Ma grosse tàche carrée est du coulis, c'est une tàche. ça fait quand même un moment que je demande de clarifier les contraintes, on a assez dit qu'on était libre sur la taille et la forme des taches. Alors je choisis un grosse tache carrée au centre.

Franky1103 a écrit:

Il semble en effet que seul Vasimolo comprenne ses propres énigmes

Je vois bien que c'est un trait d'humour et je sais qu'il m'arrive d'être un peu ( ) confus dans l'énoncé de mes énigmes . J'ai relu le message initial auquel je n'ai pas changé une virgule . Il me semble qu'il est clair , sauf si on considère qu'un disque est un point ou que le coulis est forcément constitué de disques de rayons 2 cm ( rien n'est dit dans ce sens ) .

L'illustration est volontairement trompeuse , il faut lire le texte de l'énigme .

Il y a sur ce forum des raccourcis bien plus hasardeux qui ne dérangent personne

Vasimolo

C'est bien moi même qui ai fait une mauvaise lecture de l'énoncé, Vasimolo n'y est pour rien.

Maintenant que c'est rentré dans l'ordre, on peut tout de même avancer une  règle pour une surface infinie. Tout d'abord, il est curieux de remarquer qu'il suffit d'énoncer qu'aux extrémités d'un segment de longueur donnée, on ne doit pas trouver 2 points rouges pour calculer un recouvrement de rouge indépendant de cette longueur: Le disque de diamètre cette longueur est forcément la forme optimale pour une tache. Ensuite, le placement des taches en nid d'abeille est optimal. De là, on peut calculer facilement le recouvrement max d'une surface infinie: Pi/(8rac3)=0.2267....
Le 0.28 est donc nettement mieux que cette limite, c'est sans doute dû à la possibilité de placer des ronds entiers dans les coins, ce qui est impossible avec la structure nid d'abeille, le rapport entre largeur et hauteur n'étant pas rationnel. On peut sans doute améliorer le rendement nid d'abeille en plaçant le carré en travers de la façon la plus judicieuse possible, mais ce n'est pas sûr qu'on arrivera au 0,28. Avis aux amateurs.

Comme l'a fait remarquer Gwen, le placement en carrés perd de son intérêt pour des surfaces plus grandes: le recouvrement vaut Pi/16 soit 0.1963...

Vasimolo, ma phrase est précédée du contexte de surface infinie (sans bordure).